Matrices
Wat zijn matrices?
Een matrix is een rechthoekige tabel van reële en/of complexe getallen, gerangschikt in rijen en kolommen. Een r × c-matrix heeft r rijen en c kolommen. De gehele getallen r en c zijn de dimensies van de matrix. De afzonderlijke items in de matrix zijn de elementen. Het element op rij r en kolom c wordt aangeduid met er,c.
In de literatuur worden matrices gewoonlijk aangeduid met een vetgedrukte hoofdletter, bv. A.
Een r × 1-matrix heet een kolommatrix, en een 1 × c-matrix is een rijmatrix. Een 1 × 1-matrix heet een scalair. Een matrix met één rij of één kolom wordt soms een vector genoemd.
Een matrix met evenveel rijen als kolommen heet een vierkante matrix.
Een identiteitsmatrix of eenheidsmatrix is een vierkante matrix waarin alle elementen op de hoofddiagonaal gelijk zijn aan één en alle andere elementen gelijk zijn aan nul. Een matrix vermenigvuldigen met een eenheidsmatrix laat die matrix ongewijzigd.
Een nulmatrix is een matrix waarvan alle elementen nul zijn.
Een diagonaalmatrix is een vierkante matrix waarvan alle elementen die niet op de hoofddiagonaal liggen, gelijk zijn aan nul.
Om een onderscheid te maken tussen matrices met reële getallen en matrices met complexe getallen, spreekt men van een reële matrix of een complexe matrix.
In de MedCalc-spreadsheet wordt een matrix in één cel weergegeven als een lijst van waarden tussen accolades, waarbij waarden op dezelfde rij gescheiden worden door een komma (of het lijstscheidingsteken van je landinstellingen) en rijen gescheiden worden door een verticale streep. De tekstuele weergave van de matrix
| 5 | 6 | ||
| 7 | 8 |
is bijvoorbeeld {5,6|7,8}.
Bij grote matrices, wanneer niet alle waarden in één cel kunnen worden weergegeven, worden de waarden die niet kunnen worden weergegeven voorgesteld door 3 puntjes. De eenheidsmatrix met 12 rijen en 12 kolommen wordt bijvoorbeeld tekstueel weergegeven als:
{1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,…}
Een matrix maken uit gegevens
Om een matrix te maken uit bestaande gegevens, gebruik je de operator { } als volgt:
Een matrix maken uit variabelen in de spreadsheet
{lijst van variabelen} geeft een matrix terug met de gegevens van alle gevallen in de spreadsheet voor meerdere variabelen. Het aantal kolommen is het aantal variabelen in de lijst, en het aantal rijen is het aantal gevallen.
Als var1, var2 en var3 variabelen in de spreadsheet zijn, dan geeft {var1,var2,var3} een
De resulterende matrix kan ontbrekende gegevens bevatten. Om lege kolommen en rijen met ontbrekende gegevens te verwijderen, gebruik je de functie CLEAN.
Een matrix maken uit een spreadsheetbereik
{bereik} maakt een matrix met alle gegevens in het opgegeven spreadsheetbereik. Het gegevensbereik mag ontbrekende gegevens bevatten.
{a1:b20} maakt een 20 × 2-matrix met de gegevens in de spreadsheetcellen A1 tot en met B20.
Een matrix maken uit een lijst van gegevens
{v11, v12, … | v21, v22, …} geeft een matrix terug met de gegevens die in de argumentenlijst zijn opgesomd. De elementen op dezelfde rij worden gescheiden door een komma (of het lijstscheidingsteken van je landinstellingen), en de rijen worden gescheiden door een verticale streep | (voor het gemak kan je ook ! of \ als rijscheidingsteken gebruiken; MedCalc zet het automatisch om naar |).
De matrix mag ontbrekende gegevens bevatten. De elementen in de gegevenslijst kunnen getallen of celverwijzingen zijn.
{5,6|7,8} maakt de volgende 2 × 2-matrix:
| 5 | 6 | ||
| 7 | 8 |
{5,6|7,8,9} maakt de volgende 2 × 3-matrix:
| 5 | 6 | |||
| 7 | 8 | 9 |
Om een lege rij aan te geven, gebruik je twee verticale strepen | | gescheiden door een spatie, bv. {5,6| |7,8,9}
| 5 | 6 | |||
| 7 | 8 | 9 | ||
Omdat de lengte van de tekst in een MedCalc-cel beperkt is tot ongeveer 250 tekens, kan je met deze methode geen grote matrices maken.
Elementaire wiskundige bewerkingen
| Tekenomkering | |
| −A | Een minteken vóór een matrix keert het teken van elk element om. |
| Vermenigvuldiging of deling van een matrix met een reëel getal | |
| A * r | elk element van matrix A wordt vermenigvuldigd met het reële getal r |
| A / r | elk element van matrix A wordt gedeeld door het reële getal r |
| Optelling of aftrekking van een matrix en een reëel getal | |
| A + r | het reële getal r wordt bij elk element van matrix A opgeteld |
| A − r | het reële getal r wordt van elk element van matrix A afgetrokken |
| Optelling of aftrekking van matrices | |
| A + B | De overeenkomstige elementen van de twee matrices worden opgeteld. De matrices moeten dezelfde dimensies hebben (*) |
| A − B | De overeenkomstige elementen van de twee matrices worden van elkaar afgetrokken. De matrices moeten dezelfde dimensies hebben (*) |
| Elementsgewijze vermenigvuldiging | |
| A &* B | De overeenkomstige elementen van de twee matrices worden met elkaar vermenigvuldigd. De matrices moeten dezelfde dimensies hebben (*) |
| Elementsgewijze deling | |
| A &/ B | Alle elementen van matrix A worden gedeeld door de overeenkomstige elementen van matrix B. De matrices moeten dezelfde dimensies hebben (*) |
| Vermenigvuldiging van matrices | |
| A * B | Als A een
$$ (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj} $$
Voor matrixvermenigvuldiging moet het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk zijn aan het aantal rijen van de tweede matrix |
| Deling van matrices | |
| A / B | Matrix A wordt vermenigvuldigd met de inverse van matrix B |
(*) als een van de matrices een
Afzonderlijke elementen, rijen of kolommen opvragen
Afzonderlijke elementen, rijen of kolommen kan je opvragen met de functie INDEX.
Als cel A1 bijvoorbeeld de matrix {4,5,6|7,8,9} bevat, dan
geeft INDEX(A1,2,2) 8 terug
geeft INDEX(A1,0,2) de kolommatrix {5|8} terug, de 2e kolom van de matrix in A1
geeft INDEX(A1,2,0) de rijmatrix {7,8,9} terug, de 2e rij van de matrix in A1
Je kan ook de volgende syntaxis gebruiken: A1[r,c]
A1[2,2] geeft 8 terug (in de spreadsheet moet je deze formule laten voorafgaan door het teken =, omdat de formule met een celadres begint).
Matrixfuncties
MedCalc biedt een groot aantal functies voor het aanmaken van matrices, het verwijderen en toevoegen van kolommen en rijen, matrixeigenschappen, matrixbewerkingen en -transformaties, en lineaire vergelijkingen.
Zie Matrixfuncties.
Wiskundige functies op matrices
De volgende functies aanvaarden een matrix of gegevensbereik als argument, en geven in dat geval een matrix als resultaat terug.
Wanneer een wiskundige functie op een matrix wordt toegepast, wordt de functie op elk afzonderlijk element ervan toegepast.
Wiskundige functies:
Goniometrische functies:
Voor functies met 2 argumenten (zoals Power, Mod, Round, RandNorm, Atan2) moeten beide matrices, wanneer beide argumenten matrices zijn, hetzelfde aantal rijen en kolommen hebben.
Statistische functies op matrices
Wanneer een van de volgende statistische spreadsheetfuncties op een matrix wordt toegepast, wordt een rijvector teruggegeven met de statistiek voor de gegevens in elke overeenkomstige kolom van de matrix.
De volgende functies kunnen op reële matrices worden gebruikt:
AVEDEV, AVERAGE, COEFVAR, COUNT, COUNTNEG, COUNTPOS, GEOMEAN, HARMEAN, MAX, MEDIAN, MIN, PERCENTILE, PERCRANK, SEM, STDEV, SUM, SUMNEG, SUMPOS, SUMSQ, TESTNORM, TrimMean, TrimMeanSEM, TrimMeanLOW, TrimMeanHIGH, VAR
De volgende functies kunnen worden gebruikt op matrices die complexe getallen bevatten:
Statistische toetsfuncties op matrices
De statistische toetsfuncties vereisen dat de vrijheidsgraden gehele getallen zijn; de toetswaarden mogen matrices zijn.