Macierze
Czym są macierze?
Macierz to prostokątna tablica liczb rzeczywistych i/lub zespolonych ułożonych w wiersze i kolumny. Macierz r × c ma r wierszy i c kolumn. Liczby całkowite r i c są wymiarami macierzy. Poszczególne pozycje macierzy to jej elementy. Element w wierszu r i kolumnie c oznacza się jako er,c.
W literaturze macierze oznacza się zwykle pogrubioną wielką literą, np. A.
Macierz r × 1 nazywa się macierzą kolumnową, a macierz 1 × c – macierzą wierszową. Macierz 1 × 1 nazywa się skalarem. Macierz o jednym wierszu lub jednej kolumnie bywa nazywana wektorem.
Macierz o takiej samej liczbie wierszy i kolumn nazywa się macierzą kwadratową.
Macierz jednostkowa (macierz identycznościowa) to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy przekątnej głównej są jedynkami, a wszystkie pozostałe elementy są zerami. Pomnożenie danej macierzy przez macierz jednostkową pozostawia tę macierz niezmienioną.
Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zeru.
Macierz diagonalna to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy leżące poza przekątną główną są równe zeru.
Aby odróżnić macierze zawierające liczby rzeczywiste od macierzy zawierających liczby zespolone, używa się określeń macierz rzeczywista i macierz zespolona.
W arkuszu kalkulacyjnym MedCalc macierz jest przedstawiana w pojedynczej komórce jako lista wartości w nawiasach klamrowych; wartości w tym samym wierszu są oddzielone przecinkiem (lub lokalnym symbolem separatora listy), a wiersze są oddzielone kreską pionową. Na przykład tekstową reprezentacją macierzy
| 5 | 6 | ||
| 7 | 8 |
jest {5,6|7,8}.
W przypadku dużych macierzy, gdy nie wszystkie wartości mieszczą się w jednej komórce, wartości, których nie można wyświetlić, są zastępowane trzema kropkami. Na przykład macierz jednostkowa o 12 wierszach i 12 kolumnach będzie przedstawiona tekstowo jako:
{1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,…}
Tworzenie macierzy z danych
Aby utworzyć macierz z istniejących danych, użyj operatora { } w następujący sposób:
Tworzenie macierzy ze zmiennych w arkuszu kalkulacyjnym
{lista zmiennych} zwraca macierz zawierającą dane wszystkich przypadków w arkuszu kalkulacyjnym dla kilku zmiennych. Liczba kolumn jest równa liczbie zmiennych na liście zmiennych, a liczba wierszy – liczbie przypadków.
Jeśli var1, var2 i var3 są zmiennymi w arkuszu kalkulacyjnym, to {var1,var2,var3} zwróci macierz
Otrzymana macierz może zawierać brakujące dane. Aby usunąć puste kolumny i wiersze z brakującymi danymi, użyj funkcji CLEAN.
Tworzenie macierzy z zakresu arkusza kalkulacyjnego
{zakres} tworzy macierz zawierającą wszystkie dane z podanego zakresu arkusza kalkulacyjnego. Zakres danych może zawierać brakujące dane.
{a1:b20} tworzy macierz 20 × 2 zawierającą dane z komórek arkusza od A1 do B20.
Tworzenie macierzy z listy danych
{v11, v12, … | v21, v22, …} zwraca macierz zawierającą dane wymienione na liście argumentów. Elementy w tym samym wierszu są oddzielone przecinkiem (lub lokalnym symbolem separatora listy), a wiersze – kreską pionową | (dla wygody jako separatora wierszy możesz też użyć ! lub \; MedCalc automatycznie zamieni go na |).
Macierz może zawierać brakujące dane. Pozycjami listy danych mogą być liczby lub odwołania do komórek.
{5,6|7,8} tworzy następującą macierz 2 × 2:
| 5 | 6 | ||
| 7 | 8 |
{5,6|7,8,9} tworzy następującą macierz 2 × 3:
| 5 | 6 | |||
| 7 | 8 | 9 |
Aby wskazać pusty wiersz, użyj dwóch kresek pionowych | | oddzielonych spacją, np. {5,6| |7,8,9}
| 5 | 6 | |||
| 7 | 8 | 9 | ||
Ponieważ długość tekstu w komórce MedCalc jest ograniczona do około 250 znaków, ta metoda nie pozwala tworzyć dużych macierzy.
Podstawowe operacje matematyczne
| Zmiana znaku | |
| −A | Znak minus umieszczony przed macierzą zmienia znak każdego elementu. |
| Mnożenie lub dzielenie macierzy przez liczbę rzeczywistą | |
| A * r | każdy element macierzy A jest mnożony przez liczbę rzeczywistą r |
| A / r | każdy element macierzy A jest dzielony przez liczbę rzeczywistą r |
| Dodawanie lub odejmowanie liczby rzeczywistej od macierzy | |
| A + r | liczba rzeczywista r jest dodawana do każdego elementu macierzy A |
| A − r | liczba rzeczywista r jest odejmowana od każdego elementu macierzy A |
| Dodawanie lub odejmowanie macierzy | |
| A + B | Odpowiadające sobie elementy obu macierzy są dodawane. Macierze muszą mieć takie same wymiary (*) |
| A − B | Odpowiadające sobie elementy obu macierzy są odejmowane. Macierze muszą mieć takie same wymiary (*) |
| Mnożenie element po elemencie | |
| A &* B | Odpowiadające sobie elementy obu macierzy są mnożone. Macierze muszą mieć takie same wymiary (*) |
| Dzielenie element po elemencie | |
| A &/ B | Wszystkie elementy macierzy A są dzielone przez odpowiadające im elementy macierzy B. Macierze muszą mieć takie same wymiary (*) |
| Mnożenie macierzy | |
| A * B | Jeśli A jest macierzą
$$ (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj} $$
Mnożenie macierzy wymaga, aby liczba kolumn pierwszej macierzy była równa liczbie wierszy drugiej macierzy |
| Dzielenie macierzy | |
| A / B | Macierz A jest mnożona przez odwrotność macierzy B |
(*) jeśli jedna z macierzy jest macierzą
Dostęp do poszczególnych elementów, wierszy lub kolumn
Do poszczególnych elementów, wierszy lub kolumn można uzyskać dostęp za pomocą funkcji INDEX.
Na przykład jeśli komórka A1 zawiera macierz {4,5,6|7,8,9}, to
INDEX(A1,2,2) zwraca 8
INDEX(A1,0,2) zwraca macierz kolumnową {5|8}, czyli 2. kolumnę macierzy w A1
INDEX(A1,2,0) zwraca macierz wierszową {7,8,9}, czyli 2. wiersz macierzy w A1
Możesz też użyć następującej składni: A1[r,c]
A1[2,2] zwraca 8 (w arkuszu kalkulacyjnym musisz poprzedzić tę formułę znakiem =, ponieważ formuła zaczyna się od adresu komórki).
Funkcje macierzowe
MedCalc udostępnia wiele funkcji służących do tworzenia macierzy, usuwania i dodawania kolumn i wierszy, badania właściwości macierzy, wykonywania operacji i przekształceń macierzowych oraz rozwiązywania układów równań liniowych.
Zobacz Funkcje macierzowe.
Funkcje matematyczne dla macierzy
Poniższe funkcje przyjmują jako argument macierz lub zakres danych i w takim przypadku zwracają macierz jako wynik.
Gdy funkcja matematyczna zostanie zastosowana do macierzy, jest ona stosowana do wszystkich jej poszczególnych elementów.
Funkcje matematyczne:
Funkcje trygonometryczne:
W przypadku funkcji wymagających 2 argumentów (takich jak Power, Mod, Round, RandNorm, Atan2), gdy oba argumenty są macierzami, macierze te muszą mieć taką samą liczbę wierszy i kolumn.
Funkcje statystyczne dla macierzy
Gdy jedna z poniższych statystycznych funkcji arkusza kalkulacyjnego zostanie zastosowana do macierzy, zwracany jest wektor wierszowy zawierający wartość statystyki dla danych w każdej odpowiadającej kolumnie macierzy.
Poniższych funkcji można używać dla macierzy rzeczywistych:
AVEDEV, AVERAGE, COEFVAR, COUNT, COUNTNEG, COUNTPOS, GEOMEAN, HARMEAN, MAX, MEDIAN, MIN, PERCENTILE, PERCRANK, SEM, STDEV, SUM, SUMNEG, SUMPOS, SUMSQ, TESTNORM, TrimMean, TrimMeanSEM, TrimMeanLOW, TrimMeanHIGH, VAR
Poniższych funkcji można używać dla macierzy zawierających liczby zespolone:
Funkcje testów statystycznych dla macierzy
Funkcje testów statystycznych wymagają, aby liczby stopni swobody były liczbami całkowitymi; wartości testowe mogą być macierzami.