Matrisler

Matris nedir?

Matris, satırlar ve sütunlar halinde düzenlenmiş gerçel ve/veya karmaşık sayılardan oluşan dikdörtgen bir dizidir. r × c boyutlu bir matrisin r satırı ve c sütunu vardır. r ve c tamsayıları matrisin boyutlarıdır. Matristeki tek tek öğeler elemanlardır. r satırı ve c sütunundaki eleman e_r,c ile gösterilir.

Literatürde matrisler genellikle kalın büyük harfle gösterilir, örneğin A.

r × 1 boyutlu bir matrise sütun matrisi, 1 × c boyutlu bir matrise ise satır matrisi denir. 1 × 1 boyutlu bir matrise skaler denir. Tek bir satırı veya tek bir sütunu olan bir matrise bazen vektör denir.

Satır ve sütun sayısı aynı olan bir matrise kare matris denir.

Birim matris (özdeşlik matrisi), ana köşegenindeki tüm elemanları bir ve diğer tüm elemanları sıfır olan bir kare matristir. Belirli bir matrisi bir birim matrisle çarpmak, o matrisi değiştirmez.

Sıfır matris, tüm elemanları sıfır olan bir matristir.

Köşegen matris, ana köşegen üzerinde bulunmayan tüm elemanları sıfıra eşit olan bir kare matristir.

Gerçel sayılar içeren matrisleri karmaşık sayılar içeren matrislerden ayırt etmek için gerçel matris veya karmaşık matris terimi kullanılır.

MedCalc hesap tablosunda bir matris, tek bir hücrede süslü parantezler arasında bir değer listesi olarak gösterilir; aynı satırdaki değerler virgülle (veya yerel liste ayırıcı simgenizle), satırlar ise dikey çizgiyle ayrılır. Örneğin şu matrisin metin gösterimi

	5	6
	7	8

{5,6|7,8} şeklindedir.

Büyük matrislerde, tüm değerler tek bir hücrede görüntülenemediğinde, görüntülenemeyen değerler 3 noktayla gösterilir. Örneğin 12 satır ve 12 sütunlu birim matris metin olarak şöyle gösterilir:

{1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,…}

Verilerden matris oluşturma

Mevcut verilerden bir matris oluşturmak için { } işlecini aşağıdaki gibi kullanın:

Hesap tablosundaki değişkenlerden matris oluşturma

{değişken listesi}, birkaç değişken için hesap tablosundaki tüm olguların verilerini içeren bir matris döndürür. Sütun sayısı değişken listesindeki değişken sayısı, satır sayısı ise olgu sayısıdır.

var1, var2 ve var3 hesap tablosundaki değişkenler olduğunda {var1,var2,var3}, n × 3 boyutlu bir matris döndürür; burada matrisin satır sayısı olan n, var1, var2 veya var3 için eksik verisi olmayan olguların toplam sayısıdır.

Elde edilen matris eksik veriler içerebilir. Boş sütunları ve eksik veri içeren satırları kaldırmak için CLEAN fonksiyonunu kullanın.

Hesap tablosu aralığından matris oluşturma

{aralık}, belirtilen hesap tablosu aralığındaki tüm verileri içeren bir matris oluşturur. Veri aralığı eksik veriler içerebilir.

{a1:b20}, A1 ile B20 arasındaki hesap tablosu hücrelerindeki verileri içeren 20 × 2 boyutlu bir matris oluşturur.

Veri listesinden matris oluşturma

{v₁₁, v₁₂, … | v₂₁, v₂₂, …}, bağımsız değişken listesinde sıralanan verileri içeren bir matris döndürür. Aynı satırdaki elemanlar virgülle (veya yerel liste ayırıcı simgenizle), satırlar ise dikey çizgiyle | ayrılır (kolaylık için satır ayırıcı olarak ! veya \ da kullanabilirsiniz; MedCalc bunu otomatik olarak | işaretine dönüştürür).

Matris eksik veriler içerebilir. Veri listesindeki girdiler sayı veya hücre başvurusu olabilir.

{5,6|7,8} aşağıdaki 2 × 2 boyutlu matrisi oluşturur:

	5	6
	7	8

{5,6|7,8,9} aşağıdaki 2 × 3 boyutlu matrisi oluşturur:

	5	6
	7	8	9

Boş bir satırı belirtmek için bir boşlukla ayrılmış iki dikey çizgi | | kullanın, örneğin {5,6| |7,8,9}

5	6

7	8	9

Bir MedCalc hücresindeki metnin uzunluğu yaklaşık 250 karakterle sınırlı olduğundan, bu yöntemle büyük matrisler oluşturulamaz.

Temel matematiksel işlemler

İşaret değiştirme
−A	Bir matrisin önüne konan eksi işareti her elemanın işaretini tersine çevirir.
Bir matrisin bir gerçel sayıyla çarpılması veya bölünmesi
A * r	A matrisinin her elemanı r gerçel sayısıyla çarpılır
A / r	A matrisinin her elemanı r gerçel sayısına bölünür
Bir matrise bir gerçel sayının eklenmesi veya matristen çıkarılması
A + r	r gerçel sayısı A matrisinin her elemanına eklenir
A − r	r gerçel sayısı A matrisinin her elemanından çıkarılır
Matrislerin toplanması veya çıkarılması
A + B	İki matrisin karşılık gelen elemanları toplanır. Matrislerin boyutları aynı olmalıdır (*)
A − B	İki matrisin karşılık gelen elemanları birbirinden çıkarılır. Matrislerin boyutları aynı olmalıdır (*)
Eleman bazında çarpma
A &* B	İki matrisin karşılık gelen elemanları çarpılır. Matrislerin boyutları aynı olmalıdır (*)
Eleman bazında bölme
A &/ B	A matrisinin tüm elemanları B matrisinin karşılık gelen elemanlarına bölünür. Matrislerin boyutları aynı olmalıdır (*)
Matrislerin çarpımı
A * B	A bir n × m matris ve B bir m × p matris ise A*B, i satırı ve j sütunundaki elemanı şuna eşit olan bir n × p matristir: $$ (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj} $$ Matris çarpımı, birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olmasını gerektirir
Matrislerin bölünmesi
A / B	A matrisi B matrisinin tersiyle çarpılır

(*) matrislerden biri m × n boyutlu bir matris ve diğeri m × 1 boyutlu bir sütun vektörü ise, sütun vektörünün elemanları m × n matrisin her sütununun karşılık gelen elemanlarına eklenir (sırasıyla bunlardan çıkarılır, bunlarla çarpılır, bunlara bölünür). Matrislerden biri m × n boyutlu bir matris ve diğeri 1 × n boyutlu bir satır vektörü ise, satır vektörünün elemanları m × n matrisin her satırının karşılık gelen elemanlarına eklenir (sırasıyla bunlardan çıkarılır, bunlarla çarpılır, bunlara bölünür).

Tek tek elemanlara, satırlara veya sütunlara erişim

Tek tek elemanlara, satırlara veya sütunlara INDEX fonksiyonuyla erişilebilir.

Örneğin A1 hücresi {4,5,6|7,8,9} matrisini içeriyorsa

INDEX(A1,2,2) 8 döndürür

INDEX(A1,0,2), A1'deki matrisin 2. sütunu olan {5|8} sütun matrisini döndürür

INDEX(A1,2,0), A1'deki matrisin 2. satırı olan {7,8,9} satır matrisini döndürür

Bunun yerine şu sözdizimini de kullanabilirsiniz: A1[r,c]

A1[2,2] 8 döndürür (formül bir hücre adresiyle başladığından, hesap tablosunda bu formülün önüne = işaretini koymanız gerekir).

Matris fonksiyonları

MedCalc; matris oluşturma, sütun ve satır kaldırma ve ekleme, matris özellikleri, matris işlemleri ve dönüşümleri ile doğrusal denklemler için çok sayıda fonksiyon sunar.

Bkz. Matris fonksiyonları.

Matrisler üzerinde matematiksel fonksiyonlar

Aşağıdaki fonksiyonlar bağımsız değişken olarak bir matris veya veri aralığı kabul eder; bu durumda sonuç olarak bir matris döndürürler.

Bir matematiksel fonksiyon bir matrise uygulandığında, fonksiyon matrisin tüm elemanlarına tek tek uygulanır.

Matematiksel fonksiyonlar:

Abs, Log, Ln, Exp, Pow10, Sqrt, Square, Int, Rand, Sign, Odd, Abs, Trunc, Ceil, Floor,

Logit, Alogit,

Erf, Erfc

Fact, Gamma, GammaLN

Trigonometrik fonksiyonlar:

Sin, Cos, Tan, Asin, Acos, Atan, SinH, CosH, TanH, AsinH, AcosH, AtanH, Radians, Degrees

Sinintegral, Cosintegral,

2 bağımsız değişken gerektiren fonksiyonlarda (Power, Mod, Round, RandNorm, Atan2 gibi) her iki bağımsız değişken de matris olduğunda, bu matrislerin satır ve sütun sayıları aynı olmalıdır.

Power, Mod, RandNorm, Round, Atan2,

Beta,

BesselJ, BesselI, BesselY, BesselK

Matrisler üzerinde istatistiksel fonksiyonlar

Aşağıdaki istatistiksel hesap tablosu fonksiyonlarından biri bir matrise uygulandığında, matrisin karşılık gelen her sütunundaki verilere ilişkin istatistiği içeren bir satır vektörü döndürülür.

Aşağıdaki fonksiyonlar gerçel matrislerde kullanılabilir:

AVEDEV, AVERAGE, COEFVAR, COUNT, COUNTNEG, COUNTPOS, GEOMEAN, HARMEAN, MAX, MEDIAN, MIN, PERCENTILE, PERCRANK, SEM, STDEV, SUM, SUMNEG, SUMPOS, SUMSQ, TESTNORM, TrimMean, TrimMeanSEM, TrimMeanLOW, TrimMeanHIGH, VAR

Aşağıdaki fonksiyonlar karmaşık sayılar içeren matrislerde kullanılabilir:

AVERAGE, COUNT, SUM

Matrisler üzerinde istatistiksel test fonksiyonları

İstatistiksel test fonksiyonları serbestlik derecelerinin tamsayı olmasını gerektirir; test değerleri ise matris olabilir.

ChiDist, ChiInv, FDist, FInv, NormsDist, NormsInv, TDist, TInv