行列

行列とは

行列とは、実数や複素数を行と列に並べた長方形の配列です。r × c 行列は r 行と c 列からなります。整数 r と c は行列のサイズ（次元）です。行列内の個々の項目を要素と呼びます。r 行 c 列の要素は e_r,c で表します。

文献では、行列は一般に太字の大文字、たとえば A で表されます。

r × 1 行列は列行列、1 × c 行列は行行列と呼ばれます。1 × 1 行列はスカラーと呼ばれます。行または列が 1 つだけの行列は、ベクトルと呼ばれることもあります。

行数と列数が等しい行列を正方行列と呼びます。

単位行列（恒等行列）とは、主対角線上の要素がすべて 1 で、それ以外の要素がすべて 0 である正方行列です。ある行列に単位行列を掛けても、元の行列は変わりません。

零行列とは、すべての要素が 0 である行列です。

対角行列とは、主対角線上にない要素がすべて 0 である正方行列です。

実数を含む行列と複素数を含む行列を区別するために、実行列または複素行列という用語を用います。

MedCalc スプレッドシートでは、行列は 1 つのセル内に波かっこで囲んだ値のリストとして表されます。同じ行の値はカンマ（またはお使いの地域のリスト区切り記号）で区切り、行と行は縦線で区切ります。たとえば、次の行列

	5	6
	7	8

のテキスト表現は {5,6|7,8} です。

大きな行列で、すべての値を 1 つのセルに表示できない場合、表示できない値は 3 つの点で表されます。たとえば、12 行 12 列の単位行列は、テキストで次のように表されます。

{1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,…}

データから行列を作成する

既存のデータから行列を作成するには、次のように { } 演算子を使用します。

スプレッドシートの変数から行列を作成する

{変数リスト} は、スプレッドシート内のすべてのケースについて、複数の変数のデータを含む行列を返します。列数は変数リスト内の変数の数、行数はケースの数です。

var1、var2、var3 がスプレッドシート内の変数である場合、{var1,var2,var3} は n × 3 行列を返します。ここで行列の行数 n は、var1、var2、var3 のいずれにも欠損データがないケースの総数です。

結果の行列には欠損データが含まれる場合があります。空の列と欠損データのある行を削除するには、CLEAN 関数を使用します。

スプレッドシートの範囲から行列を作成する

{範囲} は、指定したスプレッドシート範囲内のすべてのデータを含む行列を作成します。データ範囲には欠損データが含まれていてもかまいません。

{a1:b20} は、スプレッドシートのセル A1 から B20 までのデータを含む 20 × 2 行列を作成します。

データリストから行列を作成する

{v₁₁, v₁₂, … | v₂₁, v₂₂, …} は、引数リストに列挙したデータを含む行列を返します。同じ行の要素はカンマ（またはお使いの地域のリスト区切り記号）で区切り、行と行は縦線 | で区切ります（便宜上、行区切りとして ! または \ も使用でき、MedCalc が自動的に | に変換します）。

行列には欠損データが含まれていてもかまいません。データリストの項目には、数値またはセル参照を指定できます。

{5,6|7,8} は、次の 2 × 2 行列を作成します。

	5	6
	7	8

{5,6|7,8,9} は、次の 2 × 3 行列を作成します。

	5	6
	7	8	9

空の行を指定するには、スペースで区切った 2 本の縦線 | | を使用します。例：{5,6| |7,8,9}

5	6

7	8	9

MedCalc のセル内のテキストの長さは約 250 文字に制限されているため、この方法で大きな行列を作成することはできません。

基本的な数学演算

符号の反転
−A	行列の前にマイナス記号を付けると、各要素の符号が反転します。
行列と実数の乗算または除算
A * r	行列 A の各要素に実数 r を掛けます
A / r	行列 A の各要素を実数 r で割ります
行列と実数の加算または減算
A + r	行列 A の各要素に実数 r を加えます
A − r	行列 A の各要素から実数 r を引きます
行列の加算または減算
A + B	2 つの行列の対応する要素を加算します。行列のサイズが同じでなければなりません (*)
A − B	2 つの行列の対応する要素を減算します。行列のサイズが同じでなければなりません (*)
要素ごとの乗算
A &* B	2 つの行列の対応する要素を乗算します。行列のサイズが同じでなければなりません (*)
要素ごとの除算
A &/ B	行列 A のすべての要素を、行列 B の対応する要素で割ります。行列のサイズが同じでなければなりません (*)
行列の乗算
A * B	A が n × m 行列、B が m × p 行列のとき、A*B は n × p 行列で、その i 行 j 列の要素は次の値に等しくなります。 $$ (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj} $$ 行列の乗算では、1 つ目の行列の列数が 2 つ目の行列の行数と等しくなければなりません
行列の除算
A / B	行列 A に行列 B の逆行列を掛けます

(*) 一方の行列が m × n 行列で、もう一方の行列が列ベクトル m × 1 の場合、列ベクトルの要素が m × n 行列の各列の対応する要素に加算（それぞれ減算、乗算、除算）されます。一方の行列が m × n 行列で、もう一方の行列が行ベクトル 1 × n の場合、行ベクトルの要素が m × n 行列の各行の対応する要素に加算（それぞれ減算、乗算、除算）されます。