Matrizen
Was sind Matrizen?
Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung reeller und/oder komplexer Zahlen in Zeilen und Spalten. Eine r × c-Matrix hat r Zeilen und c Spalten. Die ganzen Zahlen r und c sind die Dimensionen der Matrix. Die einzelnen Einträge der Matrix heißen Elemente. Das Element in Zeile r und Spalte c wird mit er,c bezeichnet.
In der Fachliteratur werden Matrizen üblicherweise mit einem fett gedruckten Großbuchstaben bezeichnet, z. B. A.
Eine r × 1-Matrix wird Spaltenmatrix genannt, eine 1 × c-Matrix Zeilenmatrix. Eine 1 × 1-Matrix wird als Skalar bezeichnet. Eine Matrix mit nur einer Zeile oder nur einer Spalte wird manchmal auch Vektor genannt.
Eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten wird quadratische Matrix genannt.
Eine Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale gleich eins und alle übrigen Elemente gleich null sind. Die Multiplikation einer gegebenen Matrix mit einer Einheitsmatrix lässt die gegebene Matrix unverändert.
Eine Nullmatrix ist eine Matrix, deren Elemente alle gleich null sind.
Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich null sind.
Um zwischen Matrizen mit reellen Zahlen und Matrizen mit komplexen Zahlen zu unterscheiden, spricht man von einer reellen Matrix bzw. einer komplexen Matrix.
Im MedCalc-Tabellenblatt wird eine Matrix in einer einzigen Zelle als Liste von Werten in geschweiften Klammern dargestellt. Die Werte einer Zeile werden durch ein Komma (oder das Listentrennzeichen Ihrer Ländereinstellungen) getrennt, die Zeilen durch einen senkrechten Strich. Die Textdarstellung der Matrix
| 5 | 6 | ||
| 7 | 8 |
lautet beispielsweise {5,6|7,8}.
Wenn bei großen Matrizen nicht alle Werte in einer einzigen Zelle angezeigt werden können, werden die nicht darstellbaren Werte durch 3 Punkte ersetzt. So wird beispielsweise die Einheitsmatrix mit 12 Zeilen und 12 Spalten folgendermaßen als Text dargestellt:
{1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,…}
Eine Matrix aus Daten erstellen
Um eine Matrix aus vorhandenen Daten zu erstellen, verwenden Sie den Operator { } wie folgt:
Eine Matrix aus Variablen des Tabellenblatts erstellen
{Variablenliste} gibt eine Matrix zurück, die die Daten aller Fälle des Tabellenblatts für mehrere Variablen enthält. Die Anzahl der Spalten entspricht der Anzahl der Variablen in der Variablenliste, die Anzahl der Zeilen der Anzahl der Fälle.
Sind var1, var2 und var3 Variablen im Tabellenblatt, so gibt {var1,var2,var3} eine
Die resultierende Matrix kann fehlende Daten enthalten. Um leere Spalten und Zeilen mit fehlenden Daten zu entfernen, verwenden Sie die Funktion CLEAN.
Eine Matrix aus einem Tabellenblattbereich erstellen
{Bereich} erstellt eine Matrix, die alle Daten im angegebenen Tabellenblattbereich enthält. Der Datenbereich kann fehlende Daten enthalten.
{a1:b20} erstellt eine 20 × 2-Matrix mit den Daten der Tabellenblattzellen A1 bis B20.
Eine Matrix aus einer Datenliste erstellen
{v11, v12, … | v21, v22, …} gibt eine Matrix zurück, die die in der Argumentliste aufgeführten Daten enthält. Die Elemente einer Zeile werden durch ein Komma (oder das Listentrennzeichen Ihrer Ländereinstellungen) getrennt, die Zeilen durch einen senkrechten Strich | (der Einfachheit halber können Sie auch ! oder \ als Zeilentrennzeichen verwenden; MedCalc wandelt es automatisch in | um).
Die Matrix kann fehlende Daten enthalten. Die Einträge der Datenliste können Zahlen oder Zellbezüge sein.
{5,6|7,8} erstellt die folgende 2 × 2-Matrix:
| 5 | 6 | ||
| 7 | 8 |
{5,6|7,8,9} erstellt die folgende 2 × 3-Matrix:
| 5 | 6 | |||
| 7 | 8 | 9 |
Um eine leere Zeile anzugeben, verwenden Sie zwei senkrechte Striche | |, getrennt durch ein Leerzeichen, z. B. {5,6| |7,8,9}
| 5 | 6 | |||
| 7 | 8 | 9 | ||
Da die Textlänge in einer MedCalc-Zelle auf etwa 250 Zeichen begrenzt ist, lassen sich mit dieser Methode keine großen Matrizen erstellen.
Grundlegende Rechenoperationen
| Vorzeichenumkehr | |
| −A | Ein Minuszeichen vor einer Matrix kehrt das Vorzeichen jedes Elements um. |
| Multiplikation oder Division einer Matrix mit einer reellen Zahl | |
| A * r | Jedes Element der Matrix A wird mit der reellen Zahl r multipliziert. |
| A / r | Jedes Element der Matrix A wird durch die reelle Zahl r dividiert. |
| Addition oder Subtraktion einer reellen Zahl | |
| A + r | Die reelle Zahl r wird zu jedem Element der Matrix A addiert. |
| A − r | Die reelle Zahl r wird von jedem Element der Matrix A subtrahiert. |
| Addition oder Subtraktion von Matrizen | |
| A + B | Die einander entsprechenden Elemente der beiden Matrizen werden addiert. Die Matrizen müssen dieselben Dimensionen haben (*). |
| A − B | Die einander entsprechenden Elemente der beiden Matrizen werden subtrahiert. Die Matrizen müssen dieselben Dimensionen haben (*). |
| Elementweise Multiplikation | |
| A &* B | Die einander entsprechenden Elemente der beiden Matrizen werden multipliziert. Die Matrizen müssen dieselben Dimensionen haben (*). |
| Elementweise Division | |
| A &/ B | Alle Elemente der Matrix A werden durch die entsprechenden Elemente der Matrix B dividiert. Die Matrizen müssen dieselben Dimensionen haben (*). |
| Multiplikation von Matrizen | |
| A * B | Ist A eine
$$ (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj} $$
ist. Die Matrixmultiplikation setzt voraus, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist. |
| Division von Matrizen | |
| A / B | Die Matrix A wird mit der Inversen der Matrix B multipliziert. |
(*) Ist eine der Matrizen eine
Zugriff auf einzelne Elemente, Zeilen oder Spalten
Auf einzelne Elemente, Zeilen oder Spalten können Sie mit der Funktion INDEX zugreifen.
Enthält beispielsweise Zelle A1 die Matrix {4,5,6|7,8,9}, dann gilt:
INDEX(A1,2,2) gibt 8 zurück
INDEX(A1,0,2) gibt die Spaltenmatrix {5|8} zurück, die 2. Spalte der Matrix in A1
INDEX(A1,2,0) gibt die Zeilenmatrix {7,8,9} zurück, die 2. Zeile der Matrix in A1
Alternativ können Sie folgende Syntax verwenden: A1[r,c]
A1[2,2] gibt 8 zurück (im Tabellenblatt müssen Sie dieser Formel ein Gleichheitszeichen = voranstellen, da die Formel mit einer Zelladresse beginnt).
Matrixfunktionen
MedCalc bietet zahlreiche Funktionen zum Erstellen von Matrizen, zum Entfernen und Hinzufügen von Spalten und Zeilen, zu Matrixeigenschaften, für Matrixoperationen und -transformationen sowie für lineare Gleichungssysteme.
Siehe Matrixfunktionen.
Mathematische Funktionen für Matrizen
Die folgenden Funktionen akzeptieren eine Matrix oder einen Datenbereich als Argument und geben in diesem Fall eine Matrix als Ergebnis zurück.
Wird eine mathematische Funktion auf eine Matrix angewendet, so wird die Funktion auf jedes einzelne ihrer Elemente angewendet.
Mathematische Funktionen:
Trigonometrische Funktionen:
Bei Funktionen mit 2 Argumenten (wie Power, Mod, Round, RandNorm, Atan2) müssen, wenn beide Argumente Matrizen sind, diese Matrizen dieselbe Anzahl von Zeilen und Spalten haben.
Statistische Funktionen für Matrizen
Wird eine der folgenden statistischen Tabellenblattfunktionen auf eine Matrix angewendet, so wird ein Zeilenvektor zurückgegeben, der die Statistik für die Daten der jeweils entsprechenden Spalte der Matrix enthält.
Die folgenden Funktionen können auf reelle Matrizen angewendet werden:
AVEDEV, AVERAGE, COEFVAR, COUNT, COUNTNEG, COUNTPOS, GEOMEAN, HARMEAN, MAX, MEDIAN, MIN, PERCENTILE, PERCRANK, SEM, STDEV, SUM, SUMNEG, SUMPOS, SUMSQ, TESTNORM, TrimMean, TrimMeanSEM, TrimMeanLOW, TrimMeanHIGH, VAR
Die folgenden Funktionen können auf Matrizen angewendet werden, die komplexe Zahlen enthalten:
Statistische Testfunktionen für Matrizen
Bei den statistischen Testfunktionen müssen die Freiheitsgrade ganze Zahlen sein; die Testwerte können Matrizen sein.