Matrices

Qu'est-ce qu'une matrice ?

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres réels et/ou complexes disposés en lignes et en colonnes. Une matrice r × c comporte r lignes et c colonnes. Les nombres entiers r et c sont les dimensions de la matrice. Les termes individuels de la matrice sont ses éléments. L'élément situé à la ligne r et à la colonne c est noté e_r,c.

Dans la littérature, les matrices sont généralement notées par une lettre majuscule en gras, par exemple A.

Une matrice r × 1 est appelée matrice colonne, et une matrice 1 × c est une matrice ligne. Une matrice 1 × 1 est appelée un scalaire. Une matrice ne comportant qu'une seule ligne ou une seule colonne est parfois appelée vecteur.

Une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes est appelée matrice carrée.

Une matrice identité ou matrice unité est une matrice carrée dont tous les éléments de la diagonale principale valent un et tous les autres éléments valent zéro. Multiplier une matrice donnée par une matrice identité laisse cette matrice inchangée.

Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments valent zéro.

Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments situés en dehors de la diagonale principale sont égaux à zéro.

Pour distinguer les matrices contenant des nombres réels de celles contenant des nombres complexes, on parle de matrice réelle ou de matrice complexe.

Dans la feuille de calcul MedCalc, une matrice est représentée dans une seule cellule sous la forme d'une liste de valeurs entre accolades, les valeurs d'une même ligne étant séparées par une virgule (ou par le séparateur de liste de votre configuration régionale) et les lignes étant séparées par une barre verticale. Par exemple, la représentation textuelle de la matrice

	5	6
	7	8

est {5,6|7,8}.

Pour les grandes matrices, lorsque toutes les valeurs ne peuvent pas être affichées dans une seule cellule, les valeurs qui ne peuvent pas être affichées sont représentées par 3 points. Par exemple, la matrice identité de 12 lignes et 12 colonnes est représentée textuellement ainsi :

{1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0| 0,0,0,0,0,0,0,…}

Créer une matrice à partir de données

Pour créer une matrice à partir de données existantes, utilisez l'opérateur { } comme suit :

Créer une matrice à partir de variables de la feuille de calcul

{liste de variables} renvoie une matrice contenant les données de tous les cas de la feuille de calcul pour plusieurs variables. Le nombre de colonnes est le nombre de variables de la liste, et le nombre de lignes est le nombre de cas.

Si var1, var2 et var3 sont des variables de la feuille de calcul, {var1,var2,var3} renvoie une matrice n × 3, où n, le nombre de lignes de la matrice, est le nombre total de cas qui n'ont pas de données manquantes pour var1, var2 ou var3.

La matrice obtenue peut contenir des données manquantes. Pour supprimer les colonnes vides et les lignes comportant des données manquantes, utilisez la fonction CLEAN.

Créer une matrice à partir d'une plage de la feuille de calcul

{plage} crée une matrice contenant toutes les données de la plage de la feuille de calcul indiquée. La plage de données peut contenir des données manquantes.

{a1:b20} crée une matrice 20 × 2 contenant les données des cellules A1 à B20 de la feuille de calcul.

Créer une matrice à partir d'une liste de données

{v₁₁, v₁₂, … | v₂₁, v₂₂, …} renvoie une matrice contenant les données énumérées dans la liste d'arguments. Les éléments d'une même ligne sont séparés par une virgule (ou par le séparateur de liste de votre configuration régionale), et les lignes sont séparées par une barre verticale | (pour plus de commodité, vous pouvez aussi utiliser ! ou \ comme séparateur de lignes, MedCalc le convertit automatiquement en |).

La matrice peut contenir des données manquantes. Les éléments de la liste de données peuvent être des nombres ou des références de cellules.

{5,6|7,8} crée la matrice 2 × 2 suivante :

	5	6
	7	8

{5,6|7,8,9} crée la matrice 2 × 3 suivante :

	5	6
	7	8	9

Pour indiquer une ligne vide, utilisez deux barres verticales | | séparées par une espace, par exemple {5,6| |7,8,9}

5	6

7	8	9

Comme la longueur du texte d'une cellule MedCalc est limitée à environ 250 caractères, cette méthode ne permet pas de créer de grandes matrices.

Opérations mathématiques de base

Changement de signe
−A	Un signe moins placé devant une matrice change le signe de chaque élément.
Multiplication ou division d'une matrice par un nombre réel
A * r	chaque élément de la matrice A est multiplié par le nombre réel r
A / r	chaque élément de la matrice A est divisé par le nombre réel r
Addition ou soustraction d'un nombre réel à une matrice
A + r	le nombre réel r est ajouté à chaque élément de la matrice A
A − r	le nombre réel r est soustrait de chaque élément de la matrice A
Addition ou soustraction de matrices
A + B	Les éléments correspondants des deux matrices sont additionnés. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions (*)
A − B	Les éléments correspondants des deux matrices sont soustraits. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions (*)
Multiplication élément par élément
A &* B	Les éléments correspondants des deux matrices sont multipliés. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions (*)
Division élément par élément
A &/ B	Tous les éléments de la matrice A sont divisés par les éléments correspondants de la matrice B. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions (*)
Multiplication de matrices
A * B	Si A est une matrice n × m et B une matrice m × p, A*B est une matrice n × p dont l'élément de la ligne i et de la colonne j est égal à $$ (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj} $$ La multiplication matricielle exige que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la seconde matrice
Division de matrices
A / B	La matrice A est multipliée par l'inverse de la matrice B

(*) si l'une des matrices est une matrice m × n et l'autre un vecteur colonne m × 1, les éléments du vecteur colonne sont ajoutés (respectivement soustraits, multipliés, divisés) aux éléments correspondants de chaque colonne de la matrice m × n. Si l'une des matrices est une matrice m × n et l'autre un vecteur ligne 1 × n, les éléments du vecteur ligne sont ajoutés (respectivement soustraits, multipliés, divisés) aux éléments correspondants de chaque ligne de la matrice m × n.

Accéder à des éléments, lignes ou colonnes individuels

Vous pouvez accéder à des éléments, lignes ou colonnes individuels à l'aide de la fonction INDEX.

Par exemple, si la cellule A1 contient la matrice {4,5,6|7,8,9}, alors

INDEX(A1,2,2) renvoie 8

INDEX(A1,0,2) renvoie la matrice colonne {5|8}, la 2^e colonne de la matrice de A1

INDEX(A1,2,0) renvoie la matrice ligne {7,8,9}, la 2^e ligne de la matrice de A1

Vous pouvez aussi utiliser la syntaxe suivante : A1[r,c]

A1[2,2] renvoie 8 (dans la feuille de calcul, vous devez faire précéder cette formule du signe =, car la formule commence par une adresse de cellule).

Fonctions matricielles

MedCalc propose un grand nombre de fonctions pour créer des matrices, supprimer et ajouter des colonnes et des lignes, déterminer les propriétés des matrices, effectuer des opérations et des transformations matricielles, et résoudre des équations linéaires.

Voir Fonctions matricielles.

Fonctions mathématiques sur les matrices

Les fonctions suivantes acceptent comme argument une matrice ou une plage de données, auquel cas elles renvoient une matrice comme résultat.

Lorsqu'une fonction mathématique est appliquée à une matrice, elle est appliquée à chacun de ses éléments.

Fonctions mathématiques :

Abs, Log, Ln, Exp, Pow10, Sqrt, Square, Int, Rand, Sign, Odd, Abs, Trunc, Ceil, Floor,

Logit, Alogit,

Erf, Erfc

Fact, Gamma, GammaLN

Fonctions trigonométriques :

Sin, Cos, Tan, Asin, Acos, Atan, SinH, CosH, TanH, AsinH, AcosH, AtanH, Radians, Degrees

Sinintegral, Cosintegral,

Pour les fonctions qui requièrent 2 arguments (telles que Power, Mod, Round, RandNorm, Atan2), lorsque les deux arguments sont des matrices, celles-ci doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes.

Power, Mod, RandNorm, Round, Atan2,

Beta,

BesselJ, BesselI, BesselY, BesselK

Fonctions statistiques sur les matrices

Lorsque l'une des fonctions statistiques de feuille de calcul suivantes est appliquée à une matrice, elle renvoie un vecteur ligne qui contient la statistique des données de chaque colonne correspondante de la matrice.

Les fonctions suivantes peuvent être utilisées sur des matrices réelles :

AVEDEV, AVERAGE, COEFVAR, COUNT, COUNTNEG, COUNTPOS, GEOMEAN, HARMEAN, MAX, MEDIAN, MIN, PERCENTILE, PERCRANK, SEM, STDEV, SUM, SUMNEG, SUMPOS, SUMSQ, TESTNORM, TrimMean, TrimMeanSEM, TrimMeanLOW, TrimMeanHIGH, VAR

Les fonctions suivantes peuvent être utilisées sur des matrices contenant des nombres complexes :

AVERAGE, COUNT, SUM

Fonctions de test statistique sur les matrices

Les fonctions de test statistique requièrent des degrés de liberté entiers ; les valeurs de test peuvent être des matrices.

ChiDist, ChiInv, FDist, FInv, NormsDist, NormsInv, TDist, TInv