Was sind komplexe Zahlen?
Was sind komplexe Zahlen?
Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die in der Form a + bi ausgedrückt werden kann, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist, die die Gleichung i 2=−1 erfüllt. Die Zahl a wird als Realteil und die Zahl b als Imaginärteil der komplexen Zahl bezeichnet.
Jede reelle Zahl r kann als komplexe Zahl r + 0i ausgedrückt werden.
Die komplexe Zahl a + bi lässt sich wie folgt visuell darstellen:
Phase und Norm (Betrag) sind alternative Möglichkeiten, eine komplexe Zahl zu definieren.
Erstellen einer komplexen Zahl
Sie erstellen eine komplexe Zahl mit der Funktion COMPLEX oder indem Sie die Zahl direkt in der Form a+bi eingeben. COMPLEX(a,b) gibt die Zahl a + bi zurück. COMPLEX(2,3) gibt beispielsweise 2+3i zurück.
Grundlegende mathematische Operationen
| Multiplikation oder Division einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl | |
| A * r | Sowohl der Real- als auch der Imaginärteil der komplexen Zahl A werden mit der reellen Zahl r multipliziert. |
| A / r | Sowohl der Real- als auch der Imaginärteil der komplexen Zahl A werden durch die reelle Zahl r dividiert. |
| Addition oder Subtraktion einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl | |
| A + r | Die reelle Zahl r wird zum Realteil der komplexen Zahl A addiert. |
| A − r | Die reelle Zahl r wird vom Realteil der komplexen Zahl A subtrahiert. |
| Addition oder Subtraktion komplexer Zahlen | |
| A + B | Die entsprechenden Teile der beiden komplexen Zahlen werden addiert. |
| A − B | Die entsprechenden Teile der beiden komplexen Zahlen werden subtrahiert. |
| Multiplikation komplexer Zahlen | |
| A * B | Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist wie folgt definiert:
$$ (a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i $$
|
| Division komplexer Zahlen | |
| A / B | Die Division zweier komplexer Zahlen ist wie folgt definiert:
$$ \frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i $$
|
Funktionen für komplexe Zahlen
- COMPLEX(a,b) Erstellt eine komplexe Zahl
- RE(A) Gibt den Realteil einer komplexen Zahl zurück
- IM(A) Gibt den Imaginärteil einer komplexen Zahl zurück
- NORM(A) Gibt die Norm (bzw. den Betrag) einer komplexen Zahl zurück
- CONJ(A) Gibt die komplex konjugierte Zahl einer komplexen Zahl zurück
- PHASE(A) Gibt den Phasenwinkel (bzw. die Winkelkomponente) einer komplexen Zahl zurück
- POLAR(rho,theta) Gibt die durch ihre Polarkomponenten definierte komplexe Zahl zurück
- CRND() Gibt eine zufällige komplexe Zahl zurück.
- CSQRT(x) Quadratwurzelfunktion.
Mathematische Funktionen für komplexe Zahlen
Die folgenden mathematischen Funktionen akzeptieren eine komplexe Zahl als Argument.
ABS, EXP, INV, LN, LOG, POWER, POW10, SQRT, SQUARE
ACOS, ACOSH, ASIN, ASINH, ATAN, ATANH, COS, COSH, SIN, SINH, TAN, TANH