Karmaşık sayılar
Karmaşık sayılar nedir?
Karmaşık sayı, a + bi biçiminde yazılabilen bir sayıdır; burada a ve b gerçel sayılar, i ise i 2=−1 denklemini sağlayan sanal birimdir. a sayısına karmaşık sayının gerçel kısmı, b sayısına ise sanal kısmı denir.
Her r gerçel sayısı, r + 0i karmaşık sayısı olarak yazılabilir.
a + bi karmaşık sayısı grafik olarak şu şekilde gösterilebilir:
Faz ve norm (modül), bir karmaşık sayıyı tanımlamanın alternatif yollarıdır.
Karmaşık sayı oluşturma
Bir karmaşık sayı COMPLEX fonksiyonu kullanılarak veya sayı doğrudan a+bi biçiminde girilerek oluşturulur. COMPLEX(a,b), a + bi sayısını döndürür. Örneğin COMPLEX(2,3), 2+3i döndürür.
Temel matematiksel işlemler
| Bir karmaşık sayının bir gerçel sayıyla çarpılması veya bölünmesi | |
| A * r | A karmaşık sayısının hem gerçel hem de sanal kısmı r gerçel sayısıyla çarpılır. |
| A / r | A karmaşık sayısının hem gerçel hem de sanal kısmı r gerçel sayısına bölünür. |
| Bir karmaşık sayıya bir gerçel sayının eklenmesi veya çıkarılması | |
| A + r | r gerçel sayısı A karmaşık sayısının gerçel kısmına eklenir. |
| A − r | r gerçel sayısı A karmaşık sayısının gerçel kısmından çıkarılır. |
| Karmaşık sayıların toplanması veya çıkarılması | |
| A + B | iki karmaşık sayının karşılık gelen kısımları toplanır. |
| A − B | iki karmaşık sayının karşılık gelen kısımları çıkarılır. |
| Karmaşık sayıların çarpılması | |
| A * B | İki karmaşık sayının çarpımı şöyle tanımlanır:
$$ (a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i $$
|
| Karmaşık sayıların bölünmesi | |
| A / B | İki karmaşık sayının bölümü şöyle tanımlanır:
$$ \frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i $$
|
Karmaşık sayı fonksiyonları
- COMPLEX(a,b) Bir karmaşık sayı oluşturur
- RE(A) Bir karmaşık sayının gerçel kısmını döndürür
- IM(A) Bir karmaşık sayının sanal kısmını döndürür
- NORM(A) Bir karmaşık sayının normunu (modülünü) döndürür
- CONJ(A) Bir karmaşık sayının eşleniğini döndürür
- PHASE(A) Bir karmaşık sayının faz açısını (açısal bileşenini) döndürür
- POLAR(rho,theta) Kutupsal bileşenleriyle tanımlanan bir karmaşık sayıyı döndürür
- CRND() Rastgele bir karmaşık sayı döndürür.
- CSQRT(x) Karekök fonksiyonu.
Karmaşık sayılar üzerinde matematiksel fonksiyonlar
Aşağıdaki matematiksel fonksiyonlar bağımsız değişken olarak bir karmaşık sayı kabul eder.
ABS, EXP, INV, LN, LOG, POWER, POW10, SQRT, SQUARE
ACOS, ACOSH, ASIN, ASINH, ATAN, ATANH, COS, COSH, SIN, SINH, TAN, TANH