Liczby zespolone
Czym są liczby zespolone?
Liczba zespolona to liczba, którą można zapisać w postaci a + bi, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, a i jest jednostką urojoną spełniającą równanie i 2=−1. Liczbę a nazywa się częścią rzeczywistą, a liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej.
Każdą liczbę rzeczywistą r można zapisać jako liczbę zespoloną r + 0i.
Liczbę zespoloną a + bi można przedstawić graficznie następująco:
Faza i norma (moduł) są alternatywnymi sposobami definiowania liczby zespolonej.
Tworzenie liczby zespolonej
Liczbę zespoloną tworzy się za pomocą funkcji COMPLEX albo przez bezpośrednie wprowadzenie liczby w postaci a+bi. COMPLEX(a,b) zwraca liczbę a + bi. Na przykład COMPLEX(2,3) zwraca 2+3i.
Podstawowe działania matematyczne
| Mnożenie lub dzielenie liczby zespolonej przez liczbę rzeczywistą | |
| A * r | zarówno część rzeczywista, jak i część urojona liczby zespolonej A są mnożone przez liczbę rzeczywistą r. |
| A / r | zarówno część rzeczywista, jak i część urojona liczby zespolonej A są dzielone przez liczbę rzeczywistą r. |
| Dodawanie lub odejmowanie liczby rzeczywistej od liczby zespolonej | |
| A + r | liczba rzeczywista r jest dodawana do części rzeczywistej liczby zespolonej A. |
| A − r | liczba rzeczywista r jest odejmowana od części rzeczywistej liczby zespolonej A. |
| Dodawanie lub odejmowanie liczb zespolonych | |
| A + B | odpowiadające sobie części obu liczb zespolonych są dodawane. |
| A − B | odpowiadające sobie części obu liczb zespolonych są odejmowane. |
| Mnożenie liczb zespolonych | |
| A * B | Mnożenie dwóch liczb zespolonych jest zdefiniowane następująco:
$$ (a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i $$
|
| Dzielenie liczb zespolonych | |
| A / B | Dzielenie dwóch liczb zespolonych jest zdefiniowane następująco:
$$ \frac{a + bi}{c + di} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i $$
|
Funkcje dla liczb zespolonych
- COMPLEX(a,b) Tworzy liczbę zespoloną
- RE(A) Zwraca część rzeczywistą liczby zespolonej
- IM(A) Zwraca część urojoną liczby zespolonej
- NORM(A) Zwraca normę (moduł) liczby zespolonej
- CONJ(A) Zwraca sprzężenie liczby zespolonej
- PHASE(A) Zwraca kąt fazowy (składową kątową) liczby zespolonej
- POLAR(rho,theta) Zwraca liczbę zespoloną zdefiniowaną przez jej składowe biegunowe
- CRND() Zwraca losową liczbę zespoloną.
- CSQRT(x) Funkcja pierwiastka kwadratowego.
Funkcje matematyczne dla liczb zespolonych
Następujące funkcje matematyczne przyjmują liczbę zespoloną jako argument.
ABS, EXP, INV, LN, LOG, POWER, POW10, SQRT, SQUARE
ACOS, ACOSH, ASIN, ASINH, ATAN, ATANH, COS, COSH, SIN, SINH, TAN, TANH