非线性回归
| 命令: | 统计 回归分析非线性回归分析 |
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非线性回归是一种用非线性数学模型描述两个变量之间关系的回归方法（Glantz & Slinker, 2001）。
例如：
y = 1/(1+exp(a+b*x))
其中
y 为因变量x 为自变量- a 和 b 为由软件求解的参数。
为求得模型参数，MedCalc 使用 Levenberg–Marquardt 迭代过程（Press et al., 2007），该过程要求用户提供参数的初始估计值，即尽可能好的猜测值。
所需输入
- 回归方程：选择或输入要拟合的模型，例如：y = 1/(1+exp(a+b*x))（请勿输入“y=”，它已经显示）。在本例中，a 和 b 为要估计的参数。
非线性回归方程必须包含表示自变量的符号 x，自变量在另一个输入框中选择（见下文）。
每个参数可以用除
x 和y 以外的单个字母 a ..z 表示，也可以用更有意义的名称（例如“slope”）表示。参数名称不能与电子表格中的变量名称相同，并且与变量名称一样，不能包含空格或以下字符：- + / * = < > # & @ $ | ^ : , ; . ( ) ' " [ ] { }。此外，参数名称不能以数字开头，也不能与 TRUE、FALSE、ROW、COLUMN 等保留字相同。 - 变量 Y：选择因变量。
- 变量 X：选择自变量。
- 筛选条件：可以输入可选的筛选条件，只在分析中包含部分数据。
- 参数
- 从方程中获取参数：让程序从回归方程中提取参数名称。如果未找到所有预期的参数，则很可能在指定参数名称或构造回归方程时出现了一个或多个错误。
- 参数和初始值列表：输入每个参数的初始值（最佳猜测值）。 输入初始值时，可以使用各种针对变量的电子表格统计函数。在这些函数中，可以分别用符号 &X 和 &Y 引用所选的 X 和 Y 变量，用符号 &FILTER 引用所选的数据筛选条件。 例如： 如果选择“Response”作为因变量，可以使用函数 VMAX(&Y) 作为参数的初始值。VMAX(&Y) 返回变量“Response”的最大值。 注：&X、&Y 和 &FILTER 只能以此处所述的方式使用，即用于初始化非线性回归的参数。这些符号在程序的其他部分没有意义。
- 拟合选项
- 收敛容差：当连续两次模型拟合之间的差异小于该值时，迭代过程结束。收敛容差影响参数估计值的精度。 较小的数可以用 E 记数法输入：10-10 写作 1E-10（请参阅科学记数法和 E 记数法）。
- 最大迭代次数：达到最大迭代次数时，迭代过程停止（如果迭代次数意外地多，则模型或参数初始值可能不正确）。
- 图表选项
- 显示散点图和拟合线：创建含拟合线的散点图的选项。
- 显示残差窗口：创建残差图的选项。
结果
变量 X | Concentration |
|---|---|
变量 Y | Response |
迭代
容差 | 1E-10 |
|---|---|
最大迭代次数 | 1000 |
经过 35 次迭代后达到收敛标准。 | |
初始参数
名称 | 数值 |
|---|---|
max | 3.0000 |
k | 0.6000 |
结果
样本量 | 16 |
|---|---|
残差标准差 | 0.1194 |
回归方程
(max*X)/(k+x) | |||
参数 | 系数 | 标准误 | 95% CI |
|---|---|---|---|
max | 3.2084 | 0.07210 | 3.0538至3.3631 |
k | 0.4935 | 0.04788 | 0.3909至0.5962 |
方差分析
来源 | DF | 平方和 | 均方 |
|---|---|---|---|
回归 | 2 | 88.4479 | 44.2240 |
残差 | 14 | 0.1997 | 0.01426 |
未校正的总数 | 16 | 88.6476 |
|
（校正的总数） | 15 | 10.4136 |
|
F比率 | 3100.3938 |
|---|---|
显著性水平 | P<0.0001 |
参数估计值的相关性
| max | k |
|---|---|---|
max | 1 | 0.8250 |
k | 0.8250 | 1 |
  | 保存预测值 - 保存残差 |
迭代
本节显示容差和迭代的设置。
然后给出迭代过程结束的原因：
- 达到收敛标准：由于连续两次模型拟合之间的差异小于收敛容差值，迭代过程已完成。
- 超过最大迭代次数：由于达到最大迭代次数，迭代过程已停止。这可能表明模型拟合不佳或参数初始值不当。
- 模型不当或初始参数不当：使用所指定的初始参数，程序无法为给定模型找到解。
- 函数并未对自变量的所有值都有定义：计算模型时出错（例如除以 0）。
结果
- 样本量：（所选）数据对的数目。
- 残差标准差：残差的标准差。
回归方程
程序报告参数估计值及其标准误和 95% 置信区间。置信区间用于检验参数估计值是否与某一特定值 k 有显著差异：如果值 k 不在置信区间内，则可以认为参数估计值与 k 有显著差异。
例如，如果参数估计值为 1.28，95% 置信区间为 1.10～1.46，则该参数估计值与 1 有显著差异（P<0.05）。
方差分析
方差分析表给出回归模型平方和、残差平方和以及总平方和。如果 MedCalc 判断模型不含截距，则报告“未校正”平方和并将其用于 F检验；如果 MedCalc 判断模型含有截距，则报告“校正”平方和并将其用于 F检验。
参数估计值的相关
此表给出各参数估计值之间的相关系数。如果两个或多个参数彼此高度相关，请考虑减少参数数目或选择其他模型。
散点图与拟合线
此图表显示散点图以及拟合的非线性回归线。
残差图
残差是因变量预测值与观测值之差。
残差图可用于直观评估模型的拟合优度。残差可能提示数据中可能的异常值（不寻常的值）或所拟合模型存在的问题。如果残差呈现某种模式，则所选模型可能不正确。
参考文献
- Glantz SA, Slinker BK (2001) Primer of applied regression & analysis of variance. 2nd ed. McGraw-Hill.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007) Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Third Edition. New York: Cambridge University Press.