非線性迴歸
| 命令: | 統計 迴歸非線性迴歸 |
|---|
非線性迴歸是一種用非線性數學模型描述兩個變數之間關係的迴歸方法（Glantz & Slinker, 2001）。
例如：
y = 1/(1+exp(a+b*x))
其中
y 為依變數x 為自變數- a 和 b 為由軟體求解的參數。
為求得模型參數，MedCalc 使用 Levenberg–Marquardt 迭代過程（Press et al., 2007），該過程要求使用者提供參數的初始估計值，即儘可能好的猜測值。
所需輸入
- 迴歸方程式：選擇或輸入要配適的模型，例如：y = 1/(1+exp(a+b*x))（請勿輸入「y=」，它已經顯示）。在本例中，a 和 b 為要估計的參數。
非線性迴歸方程式必須包含表示自變數的符號 x，自變數在另一個輸入框中選擇（見下文）。
每個參數可以用除
x 和y 以外的單一字母 a ..z 表示，也可以用更有意義的名稱（例如「slope」）表示。參數名稱不能與試算表中的變數名稱相同，並且與變數名稱一樣，不能包含空格或以下字元：- + / * = < > # & @ $ | ^ : , ; . ( ) ' " [ ] { }。此外，參數名稱不能以數字開頭，也不能與 TRUE、FALSE、ROW、COLUMN 等保留字相同。 - 變數 Y：選擇依變數。
- 變數 X：選擇自變數。
- 篩選條件：可以輸入可選的篩選條件，只在分析中包含部分資料。
- 參數
- 從方程式中獲取參數：讓程式從迴歸方程式中提取參數名稱。如果未找到所有預期的參數，則很可能在指定參數名稱或構造迴歸方程式時出現了一個或多個錯誤。
- 參數和初始值清單：輸入每個參數的初始值（最佳猜測值）。 輸入初始值時，可以使用各種針對變數的試算表統計函數。在這些函數中，可以分別用符號 &X 和 &Y 引用所選的 X 和 Y 變數，用符號 &FILTER 引用所選的資料篩選條件。 例如： 如果選擇「Response」作為依變數，可以使用函數 VMAX(&Y) 作為參數的初始值。VMAX(&Y) 返回變數「Response」的最大值。 注：&X、&Y 和 &FILTER 只能以此處所述的方式使用，即用於初始化非線性迴歸的參數。這些符號在程式的其他部分沒有意義。
- 配適選項
- 收斂容差：當連續兩次模型配適之間的差異小於該值時，迭代過程結束。收斂容差影響參數估計值的精度。 較小的數可以用 E 記數法輸入：10-10 寫作 1E-10（請參閱科學記數法和 E 記數法）。
- 最大迭代次數：達到最大迭代次數時，迭代過程停止（如果迭代次數意外地多，則模型或參數初始值可能不正確）。
- 圖表選項
- 顯示散布圖和配適線：建立含配適線的散布圖的選項。
- 顯示殘差視窗：建立殘差圖的選項。
結果
變數 X | Concentration |
|---|---|
變數 Y | Response |
反覆法
容許值 | 1E-10 |
|---|---|
最大反覆次數 | 1000 |
經過 35 反覆法後符合的收斂準則 | |
初始參數
名稱 | 數值 |
|---|---|
max | 3.0000 |
k | 0.6000 |
結果
樣本數 | 16 |
|---|---|
殘差標準差 | 0.1194 |
迴歸方程式
(max*X)/(k+x) | |||
參數 | 係數 | 標準誤 | 95% CI |
|---|---|---|---|
max | 3.2084 | 0.07210 | 3.0538 至 3.3631 |
k | 0.4935 | 0.04788 | 0.3909 至 0.5962 |
變異數分析
來源 | 自由度 | 平方和 | 均方 |
|---|---|---|---|
迴歸分析 | 2 | 88.4479 | 44.2240 |
殘差 | 14 | 0.1997 | 0.01426 |
全部未校正 | 16 | 88.6476 |
|
(校正總和) | 15 | 10.4136 |
|
F-比例 | 3100.3938 |
|---|---|
顯著水準 | P<0.0001 |
參數評估的相關性
| max | k |
|---|---|---|
max | 1 | 0.8250 |
k | 0.8250 | 1 |
  | 儲存預測值 - 儲存殘差 |
迭代
本節顯示容差和迭代的設定。
然後給出迭代過程結束的原因：
- 達到收斂標準：由於連續兩次模型配適之間的差異小於收斂容差值，迭代過程已完成。
- 超過最大迭代次數：由於達到最大迭代次數，迭代過程已停止。這可能表明模型配適不佳或參數初始值不當。
- 模型不當或初始參數不當：使用所指定的初始參數，程式無法為給定模型找到解。
- 函數並未對自變數的所有值都有定義：計算模型時出錯（例如除以 0）。
結果
- 樣本數：（所選）資料對的數目。
- 殘差標準差：殘差的標準差。
迴歸方程式
程式報告參數估計值及其標準誤和 95% 信賴區間。信賴區間用於檢定參數估計值是否與某一特定值 k 有顯著差異：如果值 k 不在信賴區間內，則可以認為參數估計值與 k 有顯著差異。
例如，如果參數估計值為 1.28，95% 信賴區間為 1.10～1.46，則該參數估計值與 1 有顯著差異（P<0.05）。
變異數分析
變異數分析表給出迴歸模型平方和、殘差平方和以及總平方和。如果 MedCalc 判斷模型不含截距，則報告「未校正」平方和並將其用於 F 檢定；如果 MedCalc 判斷模型含有截距，則報告「校正」平方和並將其用於 F 檢定。
參數估計值的相關
此表給出各參數估計值之間的相關係數。如果兩個或多個參數彼此高度相關，請考慮減少參數數目或選擇其他模型。
散布圖與配適線
此圖表顯示散布圖以及配適的非線性迴歸線。
殘差圖
殘差是依變數預測值與觀察值之差。
殘差圖可用於直觀評估模型的適合度。殘差可能提示資料中可能的離群值（不尋常的值）或所配適模型存在的問題。如果殘差呈現某種模式，則所選模型可能不正確。
參考文獻
- Glantz SA, Slinker BK (2001) Primer of applied regression & analysis of variance. 2nd ed. McGraw-Hill.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007) Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Third Edition. New York: Cambridge University Press.