Regresja nieliniowa
| Polecenie: | Statystyki RegresjaRegresja nieliniowa |
|---|
Regresja nieliniowa jest techniką regresji, w której do opisu zależności między dwiema zmiennymi stosuje się nieliniowy model matematyczny (Glantz & Slinker, 2001).
Na przykład:
y = 1/(1+exp(a+b*x))
gdzie
y to zmienna zależnax to zmienna niezależna- a i b to parametry, które ma wyznaczyć program
Aby znaleźć parametry modelu, MedCalc stosuje iteracyjną procedurę Levenberga-Marquardta (Press et al., 2007), która wymaga od użytkownika podania wartości początkowych, czyli najlepszych oszacowań parametrów.
Wymagane dane wejściowe
- Równanie regresji: wybierz lub wprowadź model do dopasowania, na przykład: y = 1/(1+exp(a+b*x)) („y=” jest już wyświetlane i nie należy go wpisywać). W tym przykładzie a i b to parametry do oszacowania.
Równanie regresji nieliniowej musi zawierać symbol x, który odnosi się do zmiennej niezależnej wybranej w innym polu wejściowym (zobacz poniżej).
Poszczególne parametry mogą być oznaczone pojedynczymi znakami a ..
z , z wyjątkiem znakówx iy . Parametry mogą też mieć bardziej opisowe nazwy, np. 'slope'. Nazwy parametrów nie mogą być takie same jak nazwy zmiennych w arkuszu kalkulacyjnym, a podobnie jak nazwy zmiennych nie mogą zawierać spacji ani następujących znaków: - + / * = < > # & @ $ | ^ : , ; . ( ) ' " [ ] { }. Ponadto nazwy parametrów nie mogą zaczynać się od cyfry i muszą się różnić od słów zastrzeżonych, takich jak TRUE, FALSE, ROW i COLUMN. - Zmienna Y: wybierz zmienną zależną.
- Zmienna X: wybierz zmienną niezależną.
- Filtr: miejsce na opcjonalny filtr umożliwiający uwzględnienie w analizie podzbioru danych.
- Parametry
- Uzyskaj parametry z równania: pozwól programowi wyodrębnić nazwy parametrów z równania regresji. Jeśli nie zostaną wyodrębnione wszystkie oczekiwane parametry, prawdopodobnie popełniono błąd w nazwach parametrów lub w równaniu regresji.
- Lista parametrów i wartości początkowe: wprowadź wartości początkowe (najlepsze oszacowania) poszczególnych parametrów. Do wprowadzenia wartości początkowych możesz użyć różnych funkcji statystycznych arkusza kalkulacyjnego działających na zmiennych. Funkcje te mogą odwoływać się do wybranych zmiennych X i Y za pomocą symboli odpowiednio &X i &Y. Do wybranego filtru danych można się odwołać za pomocą symbolu &FILTER. Na przykład: gdy jako zmienną zależną wybrano „Response”, możesz użyć funkcji VMAX(&Y) jako wartości początkowej parametru: VMAX(&Y) zwraca maksymalną wartość zmiennej „Response”. Uwaga: symboli &X, &Y i &FILTER można używać w opisany tu sposób tylko w kontekście inicjalizacji parametrów regresji nieliniowej. W innych częściach programu symbole te nie mają żadnego znaczenia.
- Opcje dopasowania
- Tolerancja zbieżności: proces iteracji kończy się, gdy różnica między kolejnymi dopasowaniami modelu jest mniejsza od tej wartości. Tolerancja zbieżności wpływa na precyzję oszacowań parametrów. Małą liczbę możesz wprowadzić w notacji E: zapisz 10-10 jako 1E-10 (zobacz Notacja naukowa i notacja E).
- Maksymalna liczba iteracji: proces iteracji zatrzymuje się po osiągnięciu maksymalnej liczby iteracji (gdy liczba iteracji jest nieoczekiwanie duża, model lub wartości początkowe parametrów mogą być niedokładne).
- Opcje wykresu
- Pokaż wykres rozproszony i dopasowaną linię: opcja utworzenia wykresu rozproszonego z dopasowaną linią.
- Pokaż okno reszt: opcja utworzenia wykresu reszt.
Wyniki
Zmienna X | Concentration |
|---|---|
Zmienna Y | Response |
Iteracje
Tolerancja | 1E-10 |
|---|---|
Maksymalna liczba iteracji | 1000 |
Kryterium zbieżności spełnione po 35 iteracjach. | |
Parametry początkowe
Nazwa | Wartość |
|---|---|
max | 3.0000 |
k | 0.6000 |
Wyniki
Liczebność próby | 16 |
|---|---|
Resztowe odchylenie standardowe | 0.1194 |
Równanie regresji
(max*X)/(k+x) | |||
Parametr | Współczynnik | Std. Błąd | 95% CI |
|---|---|---|---|
max | 3.2084 | 0.07210 | 3.0538 do 3.3631 |
k | 0.4935 | 0.04788 | 0.3909 do 0.5962 |
Analiza wariancji
Źródło | DF | Suma kwadratów | Średnia kwadratów |
|---|---|---|---|
Regresja | 2 | 88.4479 | 44.2240 |
Reszta | 14 | 0.1997 | 0.01426 |
Łącznie nieskorygowane | 16 | 88.6476 |
|
(Łącznie skorygowane) | 15 | 10.4136 |
|
Współczynnik F | 3100.3938 |
|---|---|
Poziom istotności | P<0.0001 |
Korelacje oszacowań parametrów
| max | k |
|---|---|---|
max | 1 | 0.8250 |
k | 0.8250 | 1 |
  | Zapisz wartości prognozowane - Zapisz reszty |
Iteracje
Ta sekcja pokazuje ustawienia tolerancji i iteracji.
Następnie podawana jest przyczyna zakończenia procesu iteracji:
- Spełniono kryterium tolerancji zbieżności: proces iteracji zakończył się, ponieważ różnica między kolejnymi dopasowaniami modelu stała się mniejsza od wartości tolerancji zbieżności.
- Przekroczono maksymalną liczbę iteracji: proces iteracji zatrzymał się, ponieważ osiągnięto maksymalną liczbę iteracji. Może to wskazywać na słabe dopasowanie modelu lub niewłaściwe wartości początkowe parametrów.
- Niewłaściwy model lub niewłaściwe parametry początkowe: program nie znalazł rozwiązania dla danego modelu przy podanych parametrach początkowych.
- Funkcja niezdefiniowana dla wszystkich wartości zmiennej niezależnej: obliczenie modelu spowodowało błąd, np. dzielenie przez zero.
Wyniki
- Liczebność próby: liczba (wybranych) par danych.
- Resztowe odchylenie standardowe: odchylenie standardowe reszt.
Równanie regresji
Oszacowania parametrów są podawane wraz z błędem standardowym i 95% przedziałem ufności. Przedział ufności służy do sprawdzenia, czy oszacowanie parametru różni się istotnie od określonej wartości k. Jeśli wartość k nie mieści się w przedziale ufności, można wnioskować, że oszacowanie parametru różni się istotnie od k.
Na przykład, gdy oszacowanie parametru wynosi 1,28 przy 95% CI od 1,10 do 1,46, to oszacowanie parametru różni się istotnie (P<0,05) od 1.
Analiza wariancji
Tabele analizy wariancji podają sumy kwadratów dla modelu regresji, resztową i całkowitą. Gdy MedCalc ustali, że model nie zawiera wyrazu wolnego, podawana jest „nieskorygowana” suma kwadratów, która jest używana w teście F. Gdy MedCalc ustali, że model zawiera wyraz wolny, podawana jest „skorygowana” suma kwadratów, która jest używana w teście F.
Korelacje oszacowań parametrów
Ta tabela podaje współczynniki korelacji między poszczególnymi oszacowaniami parametrów. Jeśli 2 lub więcej parametrów jest silnie skorelowanych, możesz rozważyć zmniejszenie liczby parametrów lub wybór innego modelu.
Wykres rozproszony i dopasowana linia
Ten wykres przedstawia wykres rozproszony i dopasowaną linię regresji nieliniowej.
Wykres reszt
Reszty to różnice między wartościami przewidywanymi a wartościami obserwowanymi zmiennej zależnej.
Wykres reszt pozwala wzrokowo ocenić dobroć dopasowania modelu. Reszty mogą wskazywać możliwe wartości odstające (nietypowe wartości) w danych lub problemy z dopasowanym modelem. Jeśli reszty układają się według pewnego wzorca, wybrany model może być nieodpowiedni.
Piśmiennictwo
- Glantz SA, Slinker BK (2001) Primer of applied regression & analysis of variance. 2nd ed. McGraw-Hill.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007) Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Third Edition. New York: Cambridge University Press.