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MedCalc

비선형 회귀분석

비선형 회귀는 비선형 수학 모형을 사용하여 두 변수 사이의 관계를 기술하는 회귀 기법입니다(Glantz & Slinker, 2001).

예:

y = 1/(1+exp(a+b*x))

여기서

  • y는 종속변수입니다.
  • x는 독립변수입니다.
  • a와 b는 소프트웨어가 구해야 할 매개변수입니다.

모형의 매개변수를 구하기 위해 MedCalc는 Levenberg-Marquardt 반복 절차(Press et al., 2007)를 사용하며, 사용자가 매개변수의 초기 추정값 또는 가능한 최선의 추정값을 지정해야 합니다.

필수 입력 항목

비선형 회귀분석

  • 회귀식: 적합할 모형을 선택하거나 입력합니다. 예: y = 1/(1+exp(a+b*x)) (“y=”는 이미 표시되어 있으므로 입력하지 않아야 합니다). 이 예에서 a와 b는 추정할 매개변수입니다.

    비선형 회귀식에는 다른 입력 상자에서 선택하는 독립변수를 가리키는 기호 x가 있어야 합니다(아래 참조).

    여러 매개변수는 x와 y를 제외한 한 글자 문자 a .. z로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 'slope'와 같이 더 의미 있는 이름으로 매개변수를 나타낼 수도 있습니다. 매개변수 이름은 스프레드시트의 변수 이름과 같아서는 안 되며, 변수 이름과 마찬가지로 공백이나 다음 문자를 포함할 수 없습니다. - + / * = < > # & @ $ | ^ : , ; . ( ) ' " [ ] { }. 또한 매개변수 이름은 숫자로 시작할 수 없으며, TRUE, FALSE, ROW, COLUMN 같은 예약어와 달라야 합니다.

  • 변수 Y: 종속변수를 선택합니다.
  • 변수 X: 독립변수를 선택합니다.
  • 필터: 데이터의 일부만 분석에 포함하기 위한 선택적 필터를 입력하는 곳입니다.
  • 매개변수
    • 식에서 매개변수 가져오기: 프로그램이 회귀식에서 매개변수 이름을 가져오게 합니다. 의도한 매개변수가 모두 발견되지 않으면 매개변수 이름을 지정하거나 회귀식을 작성할 때 하나 이상의 오류를 범했을 가능성이 높습니다.
    • 매개변수 및 초기값 목록: 여러 매개변수의 초기값(최선의 추정값)을 입력합니다.

      초기값을 입력할 때 여러 변수에 대한 스프레드시트 통계 함수를 사용할 수 있습니다. 이 함수들은 각각 기호 &X와 &Y로 선택한 X 변수와 Y 변수를 참조할 수 있습니다. 선택한 데이터 필터를 참조하려면 기호 &FILTER를 사용할 수 있습니다.

      예: “Response”를 종속변수로 선택한 경우 함수 VMAX(&Y)를 매개변수의 초기값으로 사용할 수 있으며, VMAX(&Y)는 변수 “Response”의 최대값을 반환합니다.

      참고: &X, &Y, &FILTER는 여기에서 설명한 방식, 즉 비선형 회귀의 매개변수 초기화에서만 사용할 수 있습니다. 이 기호는 프로그램의 다른 부분에서는 아무 의미가 없습니다.
  • 적합 옵션
    • 수렴 허용오차: 연속된 모형 적합 간의 차이가 이 값보다 작아지면 반복 과정이 종료됩니다. 수렴 허용오차는 매개변수 추정값의 정밀도에 영향을 줍니다.

      작은 수는 E 표기법으로 입력할 수 있습니다. 10-10은 1E-10으로 씁니다(과학적 표기법과 E 표기법 참조).

    • 최대 반복 수: 최대 반복 수에 도달하면 반복 과정이 중지됩니다(반복 수가 예상외로 많으면 모형이나 매개변수 초기값이 부정확할 수 있습니다).
  • 그래프 옵션
    • 산점도 및 적합선 표시: 적합선이 있는 산점도를 만드는 옵션입니다.
    • 잔차 창 표시: 잔차도를 만드는 옵션입니다.

결과

비선형 회귀분석

X 변수

Concentration

Y 변수

Response

반복

공차

1E-10

최대 반복

1000

35회 반복 후 수렴 기준이 충족되었습니다.

초기 매개변수

이름

값

max

3.0000

k

0.6000

결과

표본 크기

16

잔차 표준편차

0.1194

회귀식

(max*X)/(k+x)

매개변수

계수

Std. 오차

95% 신뢰구간

max

3.2084

0.07210

3.0538 ~ 3.3631

k

0.4935

0.04788

0.3909 ~ 0.5962

분산분석

변동요인

DF

제곱합

평균제곱

회귀

2

88.4479

44.2240

잔차

14

0.1997

0.01426

미수정 합계

16

88.6476

 

(수정 합계)

15

10.4136

 

F 비율

3100.3938

유의수준

P<0.0001

매개변수 추정량의 상관관계

 

max

k

max

1

0.8250

k

0.8250

1

Help button Print button예측값 저장 - 잔차 저장

반복

이 부분에는 허용오차와 반복에 대한 설정이 표시됩니다.

이어서 반복 과정이 종료된 이유가 제시됩니다.

  • 수렴 허용오차 기준 충족: 연속된 모형 적합 간의 차이가 수렴 허용오차 값보다 작아져 반복 과정이 완료되었습니다.
  • 최대 반복 수 초과: 최대 반복 수에 도달하여 반복 과정이 중지되었습니다. 이는 모형 적합이 좋지 않거나 매개변수 초기값이 좋지 않음을 나타낼 수 있습니다.
  • 잘못된 모형 또는 잘못된 초기 매개변수: 지정한 초기 매개변수로 주어진 모형의 해를 프로그램이 찾을 수 없었습니다.
  • 독립변수의 모든 값에 대해 함수가 정의되지 않음: 모형 계산에서 오류(예: 0으로 나누기)가 발생했습니다.

결과

  • 표본 크기: (선택된) 데이터 쌍의 수입니다.
  • 잔차 표준편차: 잔차의 표준편차입니다.

회귀식

매개변수 추정값은 표준오차 및 95% 신뢰구간과 함께 보고됩니다. 신뢰구간은 매개변수 추정값이 특정 값 k와 유의하게 다른지를 검정하는 데 사용됩니다. 값 k가 신뢰구간 안에 포함되지 않으면 매개변수 추정값이 k와 유의하게 다르다고 결론지을 수 있습니다.

예를 들어 매개변수 추정값이 1.28이고 95% 신뢰구간이 1.10~1.46이면, 이 매개변수 추정값은 1과 유의하게(P<0.05) 다릅니다.

분산분석

분산분석 표에는 회귀 모형 제곱합, 잔차 제곱합 및 총 제곱합이 제시됩니다. MedCalc가 모형에 절편이 없다고 판단하면 “미수정” 제곱합을 보고하고 F-검정에 사용합니다. MedCalc가 모형에 절편이 있다고 판단하면 “수정” 제곱합을 보고하고 F-검정에 사용합니다.

매개변수 추정량의 상관관계

이 표에는 여러 매개변수 추정값 간의 상관계수가 제시됩니다. 2개 이상의 매개변수가 서로 높은 상관을 보이면 매개변수의 수를 줄이거나 다른 모형을 선택하는 것을 고려할 수 있습니다.

산점도 및 적합선

이 그래프는 산점도와 적합된 비선형 회귀선을 표시합니다.

비선형 회귀분석 - 그래프

잔차도

잔차는 종속변수의 예측값과 관측값 간의 차이입니다.

잔차도를 사용하면 모형의 적합도를 시각적으로 평가할 수 있습니다. 잔차는 데이터의 잠재적 이상값(비정상적인 값)이나 적합된 모형의 문제를 나타낼 수 있습니다. 잔차가 특정 패턴을 보이면 선택한 모형이 부정확할 수 있습니다.

비선형 회귀분석 - 잔차도

참고문헌

  • Glantz SA, Slinker BK (2001) Primer of applied regression & analysis of variance. 2nd ed. McGraw-Hill.
  • Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007) Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Third Edition. New York: Cambridge University Press.

관련 항목

https://www.medcalc.org/ko/manual/nonlinearregression.php

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