Régression non linéaire
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La régression non linéaire est une technique de régression dans laquelle un modèle mathématique non linéaire est utilisé pour décrire la relation entre deux variables (Glantz & Slinker, 2001).
Par exemple :
y = 1/(1+exp(a+b*x))
où
y est la variable dépendantex est la variable indépendante- a et b sont les paramètres que le logiciel doit déterminer
Pour trouver les paramètres du modèle, MedCalc utilise la procédure itérative de Levenberg-Marquardt (Press et al., 2007), qui exige que l'utilisateur fournisse des estimations initiales ou les meilleures hypothèses pour les paramètres.
Données requises
- Équation de régression : sélectionnez ou saisissez le modèle à ajuster, par exemple : y = 1/(1+exp(a+b*x)) (notez que « y= » est déjà affiché et n'a pas besoin d'être saisi). Dans cet exemple, a et b sont les paramètres à estimer.
L'équation de régression non linéaire doit inclure le symbole x, qui fait référence à la variable indépendante sélectionnée dans une autre zone de saisie (voir ci-dessous).
Les différents paramètres peuvent être représentés par des caractères uniques a ..
z , à l'exclusion des caractèresx ety . Les paramètres peuvent également être représentés par des noms plus parlants tels que, par exemple, 'pente'. Les noms de paramètres ne doivent pas être identiques à un nom de variable de la feuille de calcul et, comme les variables, ils ne peuvent pas contenir d'espaces ni les caractères suivants : - + / * = < > # & @ $ | ^ : , ; . ( ) ' " [ ] { }. De plus, les noms de paramètres ne doivent pas commencer par un nombre et doivent être différents des mots réservés tels que TRUE, FALSE, ROW et COLUMN. - Variable Y : sélectionnez la variable dépendante.
- Variable X : sélectionnez la variable indépendante.
- Filtre : espace pour un filtre facultatif permettant d'inclure un sous-ensemble de données dans l'analyse.
- Paramètres
- Obtenir les paramètres à partir de l'équation : laisse le programme extraire les noms des paramètres de l'équation de régression. Lorsque tous les paramètres prévus ne sont pas extraits, vous avez probablement commis une ou plusieurs erreurs dans le nom des paramètres ou dans l'équation de régression.
- Liste des paramètres et valeurs initiales : saisissez des valeurs initiales (meilleures estimations) pour les différents paramètres. Pour saisir des valeurs initiales, vous pouvez utiliser les différentes fonctions statistiques de la feuille de calcul sur les variables. Ces fonctions peuvent faire référence aux variables X et Y sélectionnées au moyen des symboles &X et &Y respectivement. Le symbole &FILTER peut être utilisé pour faire référence au filtre de données sélectionné. Par exemple : lorsque « Response » est sélectionnée comme variable dépendante, vous pouvez utiliser la fonction VMAX(&Y) comme valeur initiale d'un paramètre, et VMAX(&Y) renvoie la valeur maximale de la variable « Response ». Remarque : &X, &Y et &FILTER ne peuvent être utilisés de la manière décrite ici que dans le contexte de l'initialisation des paramètres de la régression non linéaire. Ces symboles n'ont aucune signification dans les autres parties du programme.
- Options d'ajustement
- Tolérance de convergence : le processus d'itération se termine lorsque la différence entre des ajustements successifs du modèle est inférieure à cette valeur. La tolérance de convergence influence la précision des estimations des paramètres. Vous pouvez saisir un petit nombre en notation E : écrivez 10-10 sous la forme 1E-10 (voir Notation scientifique et notation E).
- Nombre maximum d'itérations : le processus d'itération s'arrête lorsque le nombre maximum d'itérations est atteint (lorsque le nombre d'itérations est anormalement élevé, le modèle ou les valeurs initiales des paramètres peuvent être inexacts).
- Options graphiques
- Afficher le diagramme de dispersion & la courbe ajustée : option permettant de créer un diagramme de dispersion avec la courbe ajustée.
- Afficher la fenêtre des résidus : option permettant de créer une représentation des résidus.
Résultats
Variable X | Concentration |
|---|---|
Variable Y | Response |
Itérations
Tolérance | 1E-10 |
|---|---|
Itérations maximales | 1000 |
Critère de convergence satisfait après 35 itérations. | |
Paramètres initiaux
Nom | Valeur |
|---|---|
max | 3.0000 |
k | 0.6000 |
Résultats
Taille de l’échantillon | 16 |
|---|---|
Écart type résiduel | 0.1194 |
Équation de régression
(max*X)/(k+x) | |||
Paramètre | Coefficient | Err. type | IC à 95 % |
|---|---|---|---|
max | 3.2084 | 0.07210 | 3.0538 à 3.3631 |
k | 0.4935 | 0.04788 | 0.3909 à 0.5962 |
Analyse de la variance
Source | DL | Somme des carrés | Carré moyen |
|---|---|---|---|
Régression | 2 | 88.4479 | 44.2240 |
Résidu | 14 | 0.1997 | 0.01426 |
Total non corrigé | 16 | 88.6476 |
|
(Total corrigé) | 15 | 10.4136 |
|
Rapport F | 3100.3938 |
|---|---|
Niveau de signification | P<0.0001 |
Corrélations des estimations de paramètres
| max | k |
|---|---|---|
max | 1 | 0.8250 |
k | 0.8250 | 1 |
  | Enregistrer les valeurs prédites - Enregistrer les résidus |
Itérations
Cette section indique les paramètres de tolérance et d'itérations.
La raison de l'arrêt du processus d'itération est ensuite indiquée :
- Critère de tolérance de convergence atteint : le processus d'itération s'est terminé car la différence entre des ajustements successifs du modèle est devenue inférieure à la valeur de la tolérance de convergence.
- Nombre maximum d'itérations dépassé : le processus d'itération s'est arrêté car le nombre maximum d'itérations a été atteint. Cela peut indiquer un mauvais ajustement du modèle ou de mauvaises valeurs initiales des paramètres.
- Mauvais modèle ou mauvais paramètres initiaux : le programme n'a pas réussi à trouver de solution pour le modèle donné avec les paramètres initiaux fournis.
- Fonction non définie pour toutes les valeurs de la variable indépendante : le calcul du modèle a donné lieu à une erreur, par exemple une division par zéro.
Résultats
- Taille de l'échantillon : le nombre de paires de données (sélectionnées).
- Écart type résiduel : l'écart type des résidus.
Équation de régression
Les estimations des paramètres sont indiquées avec leur erreur type et leur intervalle de confiance à 95 %. L'intervalle de confiance sert à tester si une estimation de paramètre est significativement différente d'une valeur particulière k. Si une valeur k ne se trouve pas dans l'intervalle de confiance, on peut conclure que l'estimation du paramètre est significativement différente de k.
Par exemple, lorsque l'estimation d'un paramètre est de 1,28 avec un IC à 95 % de 1,10 à 1,46, cette estimation de paramètre est significativement différente (P<0,05) de 1.
Analyse de la variance
Les tableaux d'analyse de la variance donnent les sommes des carrés du modèle de régression, résiduelle et totale. Lorsque MedCalc détermine que le modèle n'inclut pas de constante, la somme des carrés « non corrigée » est indiquée et utilisée pour le test F. Lorsque MedCalc détermine que le modèle inclut une constante, la somme des carrés « corrigée » est indiquée et utilisée pour le test F.
Corrélation des estimations des paramètres
Ce tableau indique les coefficients de corrélation entre les différentes estimations de paramètres. Lorsque 2 paramètres ou plus sont fortement corrélés, vous pouvez envisager de réduire le nombre de paramètres ou de sélectionner un autre modèle.
Diagramme de dispersion & courbe ajustée
Ce graphique affiche un diagramme de dispersion et la courbe de régression non linéaire ajustée.
Représentation des résidus
Les résidus sont les différences entre les valeurs prédites et les valeurs observées de la variable dépendante.
La représentation des résidus permet d'évaluer visuellement la qualité de l'ajustement du modèle. Les résidus peuvent signaler d'éventuelles valeurs aberrantes (valeurs inhabituelles) dans les données ou des problèmes du modèle ajusté. Si les résidus présentent une certaine structure, le modèle sélectionné peut être inexact.
Littérature
- Glantz SA, Slinker BK (2001) Primer of applied regression & analysis of variance. 2nd ed. McGraw-Hill.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007) Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Third Edition. New York: Cambridge University Press.