非线性回归实例：四参数 Logistic 模型
数据
在本例中，我们将对以下数据拟合四参数 Logistic 模型：
四参数 Logistic 模型的方程如下：
$$ \operatorname{F}(x) = d + \frac {a-d} { 1 + \left(\frac{x}{c} \right)^b } $$
也可以写成：
F(x) = d + ( a − d) / (1 + (x/c)^b)
其中
- a = 最小渐近线。在使用标准曲线的生物测定中，可以将其视为标准品浓度为 0 时的反应值。
- b = Hill 斜率。Hill 斜率表示曲线的陡度（可以为正值或负值）。
- c = 拐点。拐点定义为曲线上曲率改变方向或符号的点。C 是 y=(a+d)/2 时的剂量。
- d = 最大渐近线。在使用标准曲线的生物测定中，可以将其视为标准品浓度无穷大时的反应值。
散点图
首先，我们查看以 Response 为因变量 Y、以 Dose 为自变量 X 的散点图。我们希望在散点图中绘制一条 LOESS 平滑趋势线。对话框填写如下：
得到以下散点图：
根据此图表，我们可以估计四参数 Logistic 模型各参数的初始值（见下文）。
非线性回归
首先输入回归方程 d+(a-d)/(1+(x/c)^b)（无需输入“y=”部分），然后选择 Response 作为因变量 Y，Dose 作为自变量 X：
收敛容差和最大迭代次数保持默认值不变。我们选择显示含拟合线的散点图和残差图的选项。
初始参数
单击 ，MedCalc 从方程中提取参数名称：
现在需要为各参数输入初始值（最佳猜测值）。上面的散点图有助于得到以下估计值：
d 是上渐近线，我们用 Response 变量的最大值（约为 25）来估计它。- a 是下渐近线，我们用 Response 变量的最小值（约为 0）来估计它。
- c 是拐点（反应达到最大反应一半时的剂量），我们估计其值为 18，这大约是反应最接近中间反应值的剂量。
- b 是 Hill 斜率，我们用第一个点与最后一个点之间连线的斜率来估计它。斜率由 Δy/Δx 即 (24.2-0.1)/(52.2-0) 求得，约为 0.5。
我们可以在相应的输入框中输入这些数值：
一些有用的函数
MedCalc 提供了一些有用的函数，可作为确定参数初始值的通用方法：
- 对于
d ，我们取 Response 变量的最大值，因此可以使用公式 VMAX(&Y)。VMAX(variable) 返回变量的最大值。MedCalc 会将符号 &Y 替换为我们在对话框中选择的因变量 Y，即 Response。因此 VMAX(&Y) 将返回 Response 变量的最大值。请参阅 VMAX 函数。 - 对于 a，我们取 Response 变量的最小值，因此可以使用公式 VMIN(&Y)。请参阅 VMIN 函数。
- c 大约是反应最接近中间反应值的剂量。我们可以用 Dose 变量的均值来近似，因此可以使用公式 VAVERAGE(&X)。MedCalc 会将符号 &X 替换为我们在对话框中选择的自变量 X，即 Dose。因此 VAVERAGE(&X) 将返回 Dose 变量的均值。请参阅 VAVERAGE 函数。
- b 是斜率，我们可以用函数 VSLOPE(&X,&Y) 来估计它。请参阅 VSLOPE 函数。
我们可以在相应的输入框中输入这些公式：
现在可以继续，单击 确定。
结果
为求得模型参数，MedCalc 使用 Levenberg–Marquardt 迭代过程（Press et al., 2007），得到以下结果：
结果表显示，由于达到了收敛标准，即软件无法进一步减小残差标准差，迭代过程在 72 次迭代后停止。
接下来列出初始参数：公式 VMAX(&Y)、VMIN(&Y)、VAVERAGE(&X) 和 VSLOPE(&X,&Y) 分别为
程序报告样本量和残差标准差，然后给出回归方程以及回归参数的计算值。
例如，拐点 c 的估计值为 19.3494，标准误为 0.5107，95% 置信区间为 18.0365～20.6623。
方差分析表之后的 F检验显示 P值小于 0.0001。F检验是对回归方程总体拟合的近似检验（Glantz & Slinker, 2001）。P值较小表示拟合良好。
散点图与拟合线
此图表显示散点图以及拟合的非线性回归线，可以看出拟合线与观测数据吻合良好：
残差图
残差图未显示数据中存在任何异常值，也未呈现某种模式。因此，残差图并未提示模型存在问题。
参考文献
- Glantz SA, Slinker BK (2001) Primer of applied regression & analysis of variance. 2nd ed. McGraw-Hill.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007) Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Third Edition. New York: Cambridge University Press.