Exemplo prático de regressão não linear: modelo logístico de 4 parâmetros
Dados
Neste exemplo, ajustaremos um modelo logístico de 4 parâmetros aos seguintes dados:
A equação do modelo logístico de 4 parâmetros é a seguinte:
$$ \operatorname{F}(x) = d + \frac {a-d} { 1 + \left(\frac{x}{c} \right)^b } $$
que pode ser escrita como:
F(x) = d + ( a − d) / (1 + (x/c)^b)
onde
- a = Assíntota mínima. Em um bioensaio com uma curva padrão, pode ser considerada o valor da resposta na concentração padrão 0.
- b = Inclinação de Hill. A inclinação de Hill refere-se à inclinação da curva (pode ser positiva ou negativa).
- c = Ponto de inflexão. O ponto de inflexão é definido como o ponto da curva em que a curvatura muda de direção ou de sinal. C é a dose em que y=(a+d)/2.
- d = Assíntota máxima. Em um bioensaio com uma curva padrão, pode ser considerada o valor da resposta para uma concentração padrão infinita.
Diagrama de dispersão
Primeiro, examinamos o diagrama de dispersão com Response como variável dependente Y e Dose como variável independente X. No diagrama de dispersão, queremos traçar uma linha de tendência com suavização LOESS. Preenchemos a caixa de diálogo da seguinte forma:
Isso resulta no seguinte diagrama de dispersão:
A partir desse gráfico, poderemos estimar valores iniciais para os parâmetros do modelo logístico de 4 parâmetros (veja abaixo).
Regressão não linear
Primeiro, inserimos a equação de regressão d+(a-d)/(1+(x/c)^b) (não é preciso inserir a parte “y=”) e selecionamos Response como variável dependente Y e Dose como variável independente X:
Mantemos inalterados os valores padrão de Tolerância da convergência e de Número máximo de iterações. Selecionamos as opções para exibir um diagrama de dispersão com a linha ajustada e o gráfico de resíduos.
Parâmetros iniciais
Clicamos em e o MedCalc extrai os nomes dos parâmetros da equação:
Agora precisamos inserir valores iniciais, ou os melhores palpites, para os diferentes parâmetros. O diagrama de dispersão acima é útil para encontrar as seguintes estimativas:
d é a assíntota superior, e a estimamos pelo valor máximo da variável Response, que é cerca de 25.- a é a assíntota inferior, e a estimamos pelo valor mínimo da variável Response, que é cerca de 0.
- c é o ponto de inflexão (a dose em que se obtém metade da resposta máxima), e estimamos seu valor em 18, que é aproximadamente a dose cuja resposta está mais próxima da resposta intermediária.
- b é a inclinação de Hill, e a estimamos pela inclinação da reta entre o primeiro e o último ponto. A inclinação é dada por Δy/Δx, ou (24,2-0,1)/(52,2-0), que é aproximadamente 0,5.
Podemos inserir esses números nos campos de entrada correspondentes:
Algumas funções úteis
O MedCalc oferece algumas funções úteis que podem fornecer uma solução geral para estabelecer os valores iniciais dos parâmetros:
- para
d , usamos o valor máximo da variável Response, portanto podemos usar a fórmula VMAX(&Y). VMAX(variável) retorna o valor máximo de uma variável. O MedCalc substituirá o símbolo &Y pela variável dependente Y que selecionamos na caixa de diálogo, que é Response. Assim, VMAX(&Y) retornará o valor máximo da variável Response. Veja a função VMAX. - para a, usamos o valor mínimo da variável Response, portanto podemos usar a fórmula VMIN(&Y). Veja a função VMIN.
- c é aproximadamente a dose cuja resposta está mais próxima da resposta intermediária. Podemos aproximá-la pela média da variável Dose, portanto podemos usar a fórmula VAVERAGE(&X). O MedCalc substituirá o símbolo &X pela variável independente X que selecionamos na caixa de diálogo, que é Dose. Assim, VAVERAGE(&X) retornará o valor médio da variável Dose. Veja a função VAVERAGE.
- b é a inclinação, e podemos estimá-la com a função VSLOPE(&X,&Y). Veja a função VSLOPE.
Podemos inserir essas fórmulas nos campos de entrada correspondentes:
Agora estamos prontos para prosseguir e clicamos em OK.
Resultados
Para encontrar os parâmetros do modelo, o MedCalc usa o procedimento iterativo de Levenberg-Marquardt (Press et al., 2007), que produz os seguintes resultados:
As tabelas de resultados mostram que o procedimento parou após 72 iterações porque o critério de convergência foi atingido, ou seja, o software não conseguiu obter uma redução adicional do desvio padrão residual.
Em seguida, são listados os parâmetros iniciais: as fórmulas VMAX(&Y), VMIN(&Y), VAVERAGE(&X) e VSLOPE(&X,&Y) produziram os valores 24,2, 0,1, 15,6778 e 0,5116 para
O programa informa o tamanho da amostra e o desvio padrão residual, seguidos da equação de regressão e dos valores calculados dos parâmetros de regressão.
O ponto de inflexão c, por exemplo, é estimado em 19,3494, com erro padrão de 0,5107 e intervalo de confiança de 95% de 18,0365 a 20,6623.
O teste F que segue a tabela de análise de variância mostra um valor P inferior a 0,0001. O teste F é um teste aproximado do ajuste geral da equação de regressão (Glantz & Slinker, 2001). Um valor P baixo é indicação de um bom ajuste.
Diagrama de dispersão & linha ajustada
Este gráfico exibe um diagrama de dispersão e a linha de regressão não linear ajustada, que mostra que a linha ajustada corresponde bem aos dados observados:
Gráfico de resíduos
Nosso gráfico de resíduos não mostra nenhum valor atípico nos dados nem um padrão específico. Portanto, o gráfico de resíduos não indica nenhum problema com o nosso modelo.
Literatura
- Glantz SA, Slinker BK (2001) Primer of applied regression & analysis of variance. 2nd ed. McGraw-Hill.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007) Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Third Edition. New York: Cambridge University Press.