MedCalcEjemplo práctico de regresión no lineal: modelo logístico de 4 parámetros
Datos
En este ejemplo ajustaremos un modelo logístico de 4 parámetros a los siguientes datos:
La ecuación para el modelo logístico de 4 parámetros es la siguiente:
que se puede escribir como:
F(x) = d + (a − d) / (1 + (x/c)^b)
dónde
- a = Asíntota mínima. En un bioensayo con curva estándar, esta puede considerarse como el valor de respuesta a una concentración estándar de 0.
- b = Pendiente de Hill. La pendiente de Hill se refiere a la inclinación de la curva (puede ser positiva o negativa).
- c = Punto de inflexión. El punto de inflexión se define como el punto de la curva donde la curvatura cambia de dirección o signo. C es la dosis donde y = (da)/2.
- d = Asíntota máxima. En un bioensayo con curva estándar, esta puede considerarse el valor de respuesta para una concentración estándar infinita.
Diagrama de dispersión
Primero, observamos el diagrama de dispersión con la respuesta como variable dependiente Y y la dosis como variable independiente X. En el diagrama de dispersión, queremos trazar una línea de tendencia LOESS suavizada. Completamos el cuadro de diálogo de la siguiente manera:
Esto da como resultado el siguiente diagrama de dispersión:
A partir de este gráfico podremos estimar valores iniciales para los parámetros del modelo logístico de 4 parámetros (ver a continuación).
Regresión no lineal
Primero ingresamos la ecuación de regresión d+(ad)/(1+(x/c)^b) (no necesitamos ingresar la parte 'y=') y seleccionamos Respuesta como variable dependiente Y y Dosis como variable independiente X:
Mantenemos los valores predeterminados de Tolerancia de convergencia y Número máximo de iteraciones sin cambios. Seleccionamos las opciones para mostrar un diagrama de dispersión con la línea ajustada y el gráfico de residuos.
Parámetros iniciales
Hacemos clic y MedCalc extrae los nombres de los parámetros de la ecuación: d, a, c y b:
Ahora necesitamos introducir valores iniciales o estimaciones aproximadas para los diferentes parámetros. El diagrama de dispersión anterior es útil para obtener las siguientes estimaciones:
- d es la asíntota superior y la suponemos con el valor máximo de la variable Respuesta, que es alrededor de 25.
- a es la asíntota inferior y la estimamos con el valor mínimo de la variable Respuesta, que es aproximadamente 0.
- c es el punto de inflexión (la dosis donde se tiene la mitad de la respuesta máxima) y estimamos su valor en 18, que es aproximadamente la dosis cuya respuesta es la más cercana a la respuesta media.
- b es la pendiente de Hill y la estimamos con la pendiente de la línea entre el primer y el último punto. La pendiente viene dada por Δy/Δx o (24,2-0,1)/(52,2-0), que es aproximadamente 0,5.
Podemos introducir estos valores en los campos de entrada correspondientes:
Algunas funciones útiles
MedCalc proporciona algunas funciones útiles que pueden ofrecer una solución general para establecer los valores iniciales de los parámetros:
- Para d tomamos el valor máximo de la variable Respuesta, por lo que podemos usar la fórmula VMAX(&Y). VMAX(variable) devuelve el valor máximo de una variable. MedCalc sustituirá el símbolo &Y por la variable dependiente Y seleccionada en el cuadro de diálogo, que es Respuesta. Por tanto, VMAX(&Y) devolverá el valor máximo de la variable Respuesta. Véase la función VMAX.
- Para a tomamos el valor mínimo de la variable Respuesta, por lo que podemos usar la fórmula VMIN(&Y). Véase la función VMIN.
- c es aproximadamente la dosis cuya respuesta es la más cercana a la respuesta media. Podemos aproximarlo con la media de la variable Dosis, por lo que podemos usar la fórmula VAVERAGE(&X). MedCalc sustituirá el símbolo &X por la variable independiente X seleccionada en el cuadro de diálogo, que es Dosis. Por tanto, VAVERAGE(&X) devolverá el valor medio de la variable Dosis. Véase la función VAVERAGE.
- b es la pendiente y podemos estimarla con la función VSLOPE(&X,&Y). Véase la función VSLOPE.
Podemos introducir estas fórmulas en los campos de entrada correspondientes:
Ya estamos listos para continuar y hacer clic en Aceptar.
Resultados
Para encontrar los parámetros del modelo, MedCalc utiliza el procedimiento iterativo de Levenberg-Marquardt (Press et al., 2007), que produce los siguientes resultados:
Las tablas de resultados muestran que el procedimiento se detuvo después de 72 iteraciones porque se cumplió el Criterio de convergencia, es decir, el software no pudo obtener una reducción adicional de la desviación estándar residual.
A continuación se enumeran los parámetros iniciales: las fórmulas VMAX(&Y), VMIN(&Y), VAVERAGE(&X) y VSLOPE(&X,&Y) dieron los valores 24,2, 0,1, 15,6778 y 0,5116 para d, a, c y b respectivamente, bastante próximos a nuestras propias estimaciones basadas en la inspección del diagrama de dispersión, que eran 25, 0, 18 y 0,5.
El programa informa el tamaño de la muestra y la desviación estándar residual, seguido de la ecuación de regresión y los valores calculados de los parámetros de regresión.
El punto de inflexión c, por ejemplo, se estima en 19,3494 con un error estándar de 0,5107 y un intervalo de confianza del 95 % de 18,0365 a 20,6623.
La prueba F que sigue a la tabla de análisis de varianza muestra un valor P inferior a 0,0001. Esta prueba es una prueba aproximada del ajuste general de la ecuación de regresión (Glantz y Slinker, 2001). Un valor P bajo indica un buen ajuste.
Diagrama de dispersión y línea ajustada
Este gráfico muestra un diagrama de dispersión y la línea de regresión no lineal ajustada, que muestra que la línea ajustada se corresponde bien con los datos observados:
Gráfico de residuos
Nuestro gráfico de residuos no muestra valores atípicos en los datos ni un patrón definido. Por lo tanto, no indica un problema con nuestro modelo.
Literatura
- Glantz SA, Slinker BK (2001) Primer of applied regression & analysis of variance. 2nd ed. McGraw-Hill.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007) Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Third Edition. New York: Cambridge University Press.
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