Ausgearbeitetes Beispiel zur nichtlinearen Regression: logistisches 4-Parameter-Modell
Daten
In diesem Beispiel passen wir ein logistisches 4-Parameter-Modell an die folgenden Daten an:
Die Gleichung des logistischen 4-Parameter-Modells lautet:
$$ \operatorname{F}(x) = d + \frac {a-d} { 1 + \left(\frac{x}{c} \right)^b } $$
was sich auch so schreiben lässt:
F(x) = d + ( a − d) / (1 + (x/c)^b)
wobei
- a = untere Asymptote. Bei einem Bioassay mit einer Standardkurve kann man sie sich als den Antwortwert bei der Standardkonzentration 0 vorstellen.
- b = Hill-Steigung. Die Hill-Steigung beschreibt die Steilheit der Kurve (sie kann positiv oder negativ sein).
- c = Wendepunkt. Der Wendepunkt ist als der Punkt der Kurve definiert, an dem die Krümmung ihre Richtung bzw. ihr Vorzeichen ändert. C ist die Dosis, bei der y=(a+d)/2 gilt.
- d = obere Asymptote. Bei einem Bioassay mit einer Standardkurve kann man sie sich als den Antwortwert bei unendlich hoher Standardkonzentration vorstellen.
Punktediagramm
Zunächst betrachten wir das Punktediagramm mit Response als abhängiger Variable Y und Dose als unabhängiger Variable X. Im Punktediagramm möchten wir eine mit LOESS geglättete Trendlinie darstellen. Wir füllen das Dialogfeld wie folgt aus:
Daraus ergibt sich das folgende Punktediagramm:
Anhand dieses Diagramms können wir Anfangswerte für die Parameter des logistischen 4-Parameter-Modells schätzen (siehe unten).
Nichtlineare Regression
Zuerst geben wir die Regressionsgleichung d+(a-d)/(1+(x/c)^b) ein (den Teil „y=“ müssen wir nicht eingeben) und wählen Response als abhängige Variable Y und Dose als unabhängige Variable X aus:
Die Standardwerte für Konvergenztoleranz und Maximale Anzahl der Iterationen lassen wir unverändert. Wir wählen die Optionen zur Anzeige eines Punktediagramms mit angepasster Linie und des Residuen-Diagramms aus.
Anfangsparameter
Wir klicken auf , und MedCalc extrahiert die Parameternamen aus der Gleichung:
Nun müssen wir Anfangswerte bzw. Bestschätzungen für die einzelnen Parameter eingeben. Das obige Punktediagramm hilft uns, die folgenden Schätzungen zu finden:
d ist die obere Asymptote, und wir schätzen sie mit dem Maximalwert der Variable Response, der etwa 25 beträgt.- a ist die untere Asymptote, und wir schätzen sie mit dem Minimalwert der Variable Response, der etwa 0 beträgt.
- c ist der Wendepunkt (die Dosis, bei der die Hälfte der maximalen Antwort erreicht wird), und wir schätzen seinen Wert auf 18, was ungefähr der Dosis entspricht, deren Antwort der mittleren Antwort am nächsten liegt.
- b ist die Hill-Steigung, und wir schätzen sie mit der Steigung der Geraden zwischen dem ersten und dem letzten Punkt. Die Steigung ergibt sich aus Δy/Δx bzw. (24,2-0,1)/(52,2-0), was ungefähr 0,5 ergibt.
Diese Zahlen können wir in die entsprechenden Eingabefelder eintragen:
Einige hilfreiche Funktionen
MedCalc stellt einige nützliche Funktionen bereit, mit denen sich Anfangswerte für die Parameter allgemein festlegen lassen:
- Für
d nehmen wir den Maximalwert der Variable Response, daher können wir die Formel VMAX(&Y) verwenden. VMAX(Variable) gibt den Maximalwert einer Variable zurück. MedCalc ersetzt das Symbol &Y durch die abhängige Y-Variable, die wir im Dialogfeld ausgewählt haben, also Response. VMAX(&Y) gibt also den Maximalwert der Variable Response zurück. Siehe die Funktion VMAX. - Für a nehmen wir den Minimalwert der Variable Response, daher können wir die Formel VMIN(&Y) verwenden. Siehe die Funktion VMIN.
- c entspricht ungefähr der Dosis, deren Antwort der mittleren Antwort am nächsten liegt. Wir können dies mit dem Mittelwert der Variable Dose annähern, daher können wir die Formel VAVERAGE(&X) verwenden. MedCalc ersetzt das Symbol &X durch die unabhängige X-Variable, die wir im Dialogfeld ausgewählt haben, also Dose. VAVERAGE(&X) gibt also den Mittelwert der Variable Dose zurück. Siehe die Funktion VAVERAGE.
- b ist die Steigung, und wir können sie mit der Funktion VSLOPE(&X,&Y) schätzen. Siehe die Funktion VSLOPE.
Diese Formeln können wir in die entsprechenden Eingabefelder eintragen:
Jetzt können wir fortfahren und klicken auf OK.
Ergebnisse
Um die Parameter des Modells zu ermitteln, verwendet MedCalc das iterative Verfahren nach Levenberg-Marquardt (Press et al., 2007), das die folgenden Ergebnisse liefert:
Die Ergebnistabellen zeigen, dass das Verfahren nach 72 Iterationen beendet wurde, weil das Konvergenzkriterium erfüllt war, d. h. die Software konnte die Standardabweichung der Residuen nicht weiter verringern.
Anschließend werden die Anfangsparameter aufgeführt: Die Formeln VMAX(&Y), VMIN(&Y), VAVERAGE(&X) und VSLOPE(&X,&Y) ergaben für
Das Programm gibt die Stichprobengröße und die Standardabweichung der Residuen an, gefolgt von der Regressionsgleichung und den berechneten Werten der Regressionsparameter.
Der Wendepunkt c wird zum Beispiel auf 19,3494 geschätzt, mit einem Standardfehler von 0,5107 und einem 95 %-Konfidenzintervall von 18,0365 bis 20,6623.
Der F-Test im Anschluss an die Tabelle der Varianzanalyse ergibt einen P-Wert kleiner als 0,0001. Der F-Test ist ein approximativer Test für die Gesamtanpassung der Regressionsgleichung (Glantz & Slinker, 2001). Ein niedriger P-Wert weist auf eine gute Anpassung hin.
Punktediagramm & angepasste Linie
Dieses Diagramm zeigt ein Punktediagramm und die angepasste nichtlineare Regressionskurve; es ist zu erkennen, dass die angepasste Linie gut mit den beobachteten Daten übereinstimmt:
Residuen-Diagramm
Unser Residuen-Diagramm zeigt weder Ausreißer in den Daten noch ein bestimmtes Muster. Das Residuen-Diagramm weist daher nicht auf ein Problem mit unserem Modell hin.
Fachliteratur
- Glantz SA, Slinker BK (2001) Primer of applied regression & analysis of variance. 2nd ed. McGraw-Hill.
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2007) Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Third Edition. New York: Cambridge University Press.