요약 통계량
| 명령: | 통계 요약 통계량 |
|---|
평균, 중앙값, 표준편차, 백분위수 등 요약 통계량을 계산합니다.
필수 입력 항목
요약 통계량 대화상자에서 조사하려는 변수를 선택합니다. 이 매뉴얼의 소개에서 설명한 대로, 선택한 하위 그룹의 케이스만 포함하려면 선택 필드에 필터를 입력할 수도 있습니다.
드롭다운 버튼을 클릭하면 변수 목록을 얻을 수 있습니다. 이 목록에서 변수 이름을 클릭하여 변수를 선택할 수 있습니다.
옵션
- 로그 변환: 데이터에 로그 변환이 필요한 경우(예: 데이터가 양의 방향으로 치우친 경우) 로그 변환 옵션을 선택합니다.
- 정규분포에 대한 검정: 정규분포에 대한 검정을 참조하십시오.
- 추가 옵션을 보려면 기타 옵션 버튼을 클릭합니다.
- 백분위수: 관심 백분위수를 선택합니다.
- 기타 평균
- 절사평균: 절사평균을 계산하는 옵션입니다. 제외할 관측값의 비율(%)을 선택합니다. 예를 들어 10%를 선택하면 절사평균을 계산할 때 관측값 중 가장 작은 10%와 가장 큰 10%를 제외합니다. 계산에 대한 자세한 내용은 절사평균, SE 및 신뢰구간의 계산을 참조하십시오.
- 기하평균. 기하평균은 다음과 같이 주어집니다.
$$\left ( \prod_{i=1}^n{x_i} \right ) ^\tfrac1n = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} = \exp\left[\frac1n\sum_{i=1}^n\ln x_i\right] $$로그 변환을 선택한 경우에는 이 옵션을 사용할 수 없습니다(이 경우 보고되는 평균이 이미 기하평균임).
- 조화평균. 조화평균은 다음과 같이 주어집니다.
$$\frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}} $$로그 변환을 선택한 경우에는 이 옵션을 사용할 수 없습니다.
- 하위 그룹: (선택 사항) 데이터를 여러 하위 그룹(최대 8개)으로 나누기 위한 범주형 변수를 선택합니다. 요약 통계량은 전체 데이터와 모든 하위 그룹에 대해 제시됩니다.
$$\left ( \prod_{i=1}^n{x_i} \right ) ^\tfrac1n = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} = \exp\left[\frac1n\sum_{i=1}^n\ln x_i\right] $$
$$\frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}} $$
결과
변수 | WEIGHT |
|---|
표본 크기 | 100 |
|---|---|
최소값 | 59.0000 |
최대값 | 105.0000 |
산술평균 | 77.0400 |
산술평균의 95% 신뢰구간 | 75.1377 ~ 78.9423 |
중앙값 | 77.0000 |
중앙값에 대한 95% 신뢰구간 | 74.0000 ~ 79.0000 |
분산 | 91.9176 |
표준편차 | 9.5874 |
상대 표준편차 | 0.1244 (12.44%) |
평균의 표준오차 | 0.9587 |
왜도 계수 | 0.3684 (P=0.1242) |
첨도 계수 | -0.2175 (P=0.7336) |
Shapiro-Wilk 검정 | W=0.9835 |
백분위수 |
| 95% 신뢰구간 |
|---|---|---|
2.5 | 60.0000 |
|
5 | 62.5000 | 59.0000 ~ 65.1396 |
10 | 65.5000 | 62.0539 ~ 67.7165 |
25 | 70.0000 | 68.0000 ~ 72.0000 |
75 | 83.5000 | 80.0000 ~ 86.0000 |
90 | 90.0000 | 86.0000 ~ 94.9461 |
95 | 94.5000 | 90.7207 ~ 99.8311 |
97.5 | 95.0000 |
|
  | 상자수염도 |
표본 크기: 케이스 수
모든 관측값의 최소값과 최대값(범위).
산술평균: 산술평균 $\bar{x}$는 모든 관측값의 합을 관측값의 수
$$\begin{align}
\bar{x} & = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} \\
& = {1 \over n} \sum_{i=1}^{n}{x_i} \\
& = {1 \over n} \sum_{}^{}{x}
\end{align}$$
평균의 95% 신뢰구간(CI): 아래에 설명한 방법(평균의 표준오차 참조)으로 계산한 값의 범위로, 95% 확률로 모평균을 포함합니다.
중앙값:
중앙값의 95% 신뢰구간(CI): 95% 확률로 모집단 중앙값을 포함하는 값의 범위입니다(Campbell & Gardner, 1988). 이 95% 신뢰구간은 표본 크기가 너무 작지 않을 때만 계산할 수 있습니다.
분산: 분산은 모든 값과 산술평균 간 차이의 제곱의 평균입니다. 분산(s2)은 다음 공식으로 계산합니다.
$$s^2 = \frac{\sum_{}^{}{(x-\bar{x})^2}}{n-1} $$
표준편차: 표준편차(s 또는 SD)는 분산의 제곱근이며 데이터의 산포를 나타내는 측도입니다.
$$s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(x-\bar{x})^2}}{n-1}} $$
관측값이 정규분포를 따르면 모든 관측값의 95%가 평균 - 1.96 SD에서 평균 + 1.96 SD까지의 구간에 있다고 가정할 수 있습니다(다른 값은 정규분포 값 표 참조).
이 구간을 더 작은 평균의 95% 신뢰구간과 혼동해서는 안 됩니다. 평균 - 1.96 SD에서 평균 + 1.96 SD까지의 구간은 개별 관측값에 대한 기술적인 95% 범위이고, 평균의 95% 신뢰구간은 산술평균의 통계적 불확실성을 나타냅니다.
상대 표준편차(RSD): 표준편차를 평균으로 나눈 값입니다. 적절한 경우 이 수에 100을 곱하여 백분율로 표현할 수 있으며, 이렇게 하면 변동계수가 됩니다.
평균의 표준오차(SEM): 표준편차를 표본 크기의 제곱근으로 나누어 계산합니다.
$$SEM = \frac{s}{\sqrt{n}} $$
SEM은 평균의 신뢰구간을 계산하는 데 사용됩니다. 관측값이 정규분포 또는 근사적 정규분포를 따르면 모평균은 95% 신뢰도로 구간 x̄ ± t SEM 안에 있으며, 여기서 t는 자유도가 n−1이고 신뢰도가 95%인 t-분포에서 구합니다(t-분포 값 표 참조). 표본이 크면 t는 1.96에 가깝습니다.
왜도
왜도 계수는 변수 분포의 대칭 정도를 나타내는 측도입니다. 해당 P값이 작으면(P<0.05) 변수의 대칭성이 왜도 계수가 0인 정규분포의 대칭성과 유의하게 다릅니다(Sheskin, 2011).
 |  |  |
||
| 음의 방향으로 치우친 분포 또는 왼쪽 꼬리 분포 왜도 < 0 | 정규분포 대칭 왜도 = 0 | 양의 방향으로 치우친 분포 또는 오른쪽 꼬리 분포 왜도 > 0 |
첨도
첨도 계수는 변수 분포 꼬리의 “무게”를 나타내는 측도입니다(Westfall, 2014). 해당 P값이 작으면(P<0.05) 변수 꼬리의 무게가 첨도 계수가 0인 정규분포의 꼬리 무게와 유의하게 다릅니다(Sheskin, 2011).
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| 저첨 분포 얇은 꼬리 첨도 < 0 | 정규분포 중첨 분포 첨도 = 0 | 고첨 분포 두꺼운 꼬리 첨도 > 0 |
정규분포에 대한 검정: 이 검정의 결과는 ‘정규성 채택’ 또는 ‘정규성 기각’으로 P값과 함께 표현됩니다. P가 0.05보다 크면 데이터가 정규분포를 따른다고 가정할 수 있으며 ‘정규성 채택’이라는 결론이 표시됩니다.
P값이 0.05보다 작으면 표본의 관측값이 정규분포를 따른다는 가설을 기각해야 하며 ‘정규성 기각’이라는 결론이 표시됩니다. 이 경우 표본은 산술평균과 표준편차로 정확하게 기술할 수 없으며, 이러한 표본에는 t-검정과 같은 모수 통계 검정이나 절차를 적용해서는 안 됩니다. 정규분포를 따르지 않는 표본 간의 가능한 차이를 검정하려면 Wilcoxon 검정을 사용할 수 있으며, 상관은 순위상관으로 추정할 수 있습니다.
표본이 작으면 선택한 검정을 수행할 수 없어 해당 메시지가 표시될 수 있습니다. 이 경우 히스토그램이나 누적빈도 분포를 사용하여 분포의 대칭성과 첨도를 시각적으로 평가할 수 있습니다.
백분위수(또는 “센타일”):
$$ R(p) = 0.5 + \frac {p \times n} {100} $$
순위 R(
R(
$$ \frac {1}{n} \leq \frac {p}{100} \leq \frac {n-1}{n} $$
예를 들어 5 백분위수와 95 백분위수는 n ≥ 20일 때만 추정할 수 있습니다. 왜냐하면
$$ \frac {1}{20} \leq \frac {5}{100} \; \text{및} \; \frac {95}{100} \leq \frac {20-1}{20} $$
따라서 표본 크기가 20보다 작으면 5 백분위수와 95 백분위수를 제시하는 것은 의미가 없습니다. 이 경우에는 적어도 표본 크기가 10 이상이면 10 백분위수와 90 백분위수를 제시하는 것이 좋습니다.
백분위수는 다음과 같이 해석할 수 있습니다. 관측값의
25 백분위수를 제1사분위수, 50 백분위수를 제2사분위수(중앙값과 같음), 75 백분위수를 제3사분위수라고 합니다.
25 백분위수와 75 백분위수 사이의 수치 차이가 사분위 범위입니다. 2.5 백분위수와 97.5 백분위수 사이에는 값의 95%가 있으며, 이 범위를 95% 중심 범위라고 합니다. 90% 중심 범위는 5 백분위수와 95 백분위수로, 80% 중심 범위는 10 백분위수와 90 백분위수로 정해집니다.
로그 변환
로그 변환 옵션을 선택한 경우 프로그램은 역변환 결과를 표시합니다. 역변환된 평균을 기하평균이라고 합니다. 분산, 표준편차 및 평균의 표준오차는 의미 있게 역변환할 수 없으므로 보고되지 않습니다.
결과 제시
출판물에서 데이터를 기술할 때는 표본 크기와 산술평균을 포함합니다. 데이터 변동성의 지표로 표준편차를 제시할 수 있습니다: 평균은 25.6 mm(SD 3.2 mm)였다. 평균의 정밀도를 나타내기 위해 평균의 표준오차를 제시할 수 있습니다: 평균은 25.6 mm(SE 1.6 mm)였다.
모평균에 대해 진술하려면 평균과 평균의 95% 신뢰구간을 제시할 수 있습니다: 평균은 25.6(95% 신뢰구간 22.4~28.8)이었다.
변수의 분포가 양의 방향으로 치우쳐 있으면 정규분포를 얻기 위해 데이터에 수학적 변환(예: 로그 변환 또는 제곱근 변환)을 적용할 수 있습니다. 계산 후에는 결과를 원래 척도로 다시 변환할 수 있습니다. 이때 역변환된 표준편차나 평균의 표준오차를 보고하는 것은 의미가 없습니다. 대신 로그 변환을 적용한 경우에는 신뢰구간의 역로그를, 제곱근 변환을 적용한 경우에는 신뢰구간의 제곱을 취할 수 있습니다(Altman et al., 1983). 이렇게 얻은 신뢰구간은 대칭이 아니며 분포의 모양을 반영합니다. 예를 들어 데이터를 로그 변환한 후 평균이 1.408이고 95% 신뢰구간이 1.334~1.482이면, 이 통계량의 역로그를 취하여 다음과 같이 보고합니다: 평균은 25.6 mm(95% 신뢰구간 21.6~30.3)였다.
로그 변환이나 다른 변환 후에도 변수가 정규분포를 따르지 않으면 중앙값과 백분위수 범위(예: 사분위 범위 또는 90% 또는 95% 중심 범위)를 보고하는 것이 좋습니다: 중앙값은 25.6 mm(95% 중심 범위 19.6~33.5 mm)였다. 사분위 범위와 90% 또는 95% 중심 범위 중에서 선택할 때는 표본 크기를 고려합니다(백분위수 참조)(Altman, 1980).
보고하는 통계량의 정밀도는 원래 데이터의 정밀도에 맞아야 합니다. 평균과 95% 신뢰구간은 원자료보다 소수 자릿수를 하나 더 제시할 수 있으며, 표준편차와 표준오차는 소수 자릿수를 하나 더 제시할 수 있습니다(Altman et al., 1983).
마지막으로 본문이나 표의 요약 통계량을 그래프로 보완할 수 있습니다(분포도 참조).
참고문헌
- Altman DG (1980) Statistics and ethics in medical research. VI - Presentation of results. British Medical Journal 281:1542-1544.
- Altman DG (1991) Practical statistics for medical research. London: Chapman and Hall.
- Altman DG, Gore SM, Gardner MJ, Pocock SJ (1983) Statistical guidelines for contributors to medical journals. British Medical Journal 286:1489-1493.
- Campbell MJ, Gardner MJ (1988) Calculating confidence intervals for some non-parametric analyses. British Medical Journal 296:1454-1456.
- Lentner C (ed) (1982) Geigy Scientific Tables, 8th edition, Volume 2. Basle: Ciba-Geigy Limited.
- Schoonjans F, De Bacquer D, Schmid P (2011) Estimation of population percentiles. Epidemiology 22: 750-751.
- Sheskin DJ (2011) Handbook of parametric and non-parametric statistical procedures. 5th ed. Boca Raton: Chapman & Hall /CRC.
- Westfall PH (2014) Kurtosis as Peakedness, 1905 - 2014. R.I.P. The American Statistician 68:191-195.