要約統計量

コマンド:

統計

要約統計量

平均値、中央値、標準偏差、パーセンタイルなどの要約統計量を計算します。

必要な入力

要約統計量のダイアログボックスで、調べたい変数を選択します。このマニュアルのはじめにで説明したように、選択したケースのサブグループだけを含めるには、選択フィールドにフィルターを入力することもできます。

要約統計量

ドロップダウンボタンをクリックすると、変数のリストが表示されます。このリストで変数名をクリックして変数を選択できます。

オプション

対数変換：データに対数変換が必要な場合（たとえばデータが正に歪んでいる場合）は、対数変換オプションを選択します。
正規分布の検定：正規分布の検定を参照してください。
その他のオプションを表示するには、その他のオプションボタンをクリックします。
- パーセンタイル：関心のあるパーセンタイルを選択します。
- その他の平均
  - 刈り込み平均：刈り込み平均を計算するオプションです。除外する観測値の割合（%）を選択します。たとえば 10% を選択すると、刈り込み平均の計算では、観測値のうち最も小さい 10% と最も大きい 10% が除外されます。計算の詳細については、刈り込み平均、SE、信頼区間の計算を参照してください。
  - 幾何平均。幾何平均は次の式で与えられます。
    $$\left ( \prod_{i=1}^n{x_i} \right ) ^\tfrac1n = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} = \exp\left[\frac1n\sum_{i=1}^n\ln x_i\right] $$
    
    対数変換を選択した場合、このオプションは使用できません（その場合、報告される平均値がすでに幾何平均です）。
  - 調和平均。調和平均は次の式で与えられます。
    $$\frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}} $$
    
    対数変換を選択した場合、このオプションは使用できません。
- サブグループ：（任意）データを複数のサブグループ（最大 8 つ）に分けるためのカテゴリー変数を選択します。要約統計量は、データ全体とすべてのサブグループについて示されます。

結果

要約統計量

変数	WEIGHT

サンプルサイズ	100
最低値	59.0000
最高値	105.0000
算術平均	77.0400
算術平均値に対する95%信頼区間	75.1377 から 78.9423
中央値	77.0000
中央値に対する95%信頼区間	74.0000 から 79.0000
分散	91.9176
標準偏差	9.5874
相対標準偏差	0.1244 (12.44%)
平均値の標準誤差	0.9587
歪度係数	0.3684 (P=0.1242)
尖度係数	-0.2175 (P=0.7336)
Shapiro–Wilk 検定正規分布に対して	W=0.9835 正規性を採択(P=0.2462)

パーセンタイル		95% 信頼区間
2.5	60.0000
5	62.5000	59.0000 から 65.1396
10	65.5000	62.0539 から 67.7165
25	70.0000	68.0000 から 72.0000
75	83.5000	80.0000 から 86.0000
90	90.0000	86.0000 から 94.9461
95	94.5000	90.7207 から 99.8311
97.5	95.0000

サンプルサイズ：ケース数 n は、フィルターを満たす変数の数値の個数です。

すべての観測値の最小値と最大値（範囲）。

算術平均：算術平均 $\bar{x}$ は、すべての観測値の合計を観測値の数 n で割った値です。

$$\begin{align} \bar{x} & = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} \\ & = {1 \over n} \sum_{i=1}^{n}{x_i} \\ & = {1 \over n} \sum_{}^{}{x} \end{align}$$

平均値の 95% 信頼区間（CI）：以下で説明する方法（平均値の標準誤差を参照）で計算される値の範囲で、95% の確率で母平均を含みます。

中央値：n 個の観測値を小さい値から大きい値の順に並べたとき、中央値は順位 (n+1)/2 の値に等しくなります。中央値は 50 パーセンタイルに等しくなります。データが正規分布に従う場合、中央値は算術平均に等しくなります。中央値は極端な値や外れ値の影響を受けにくいため、算術平均よりも優れた中心傾向の尺度となる場合があります。

中央値の 95% 信頼区間（CI）：95% の確率で母集団の中央値を含む値の範囲です（Campbell & Gardner, 1988）。この 95% 信頼区間は、サンプルサイズが小さすぎない場合にのみ計算できます。

分散：分散は、すべての値と算術平均との差の 2 乗の平均です。分散（s²）は次の式で計算されます。

$$s^2 = \frac{\sum_{}^{}{(x-\bar{x})^2}}{n-1} $$

標準偏差：標準偏差（s または SD）は分散の平方根であり、データの散らばりの尺度です。

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(x-\bar{x})^2}}{n-1}} $$

観測値が正規分布に従う場合、すべての観測値の 95% が 平均値 - 1.96 SD から 平均値 + 1.96 SD までの区間にあると仮定できます（その他の値については、正規分布の値の表を参照）。

正規分布

この区間を、より狭い平均値の 95% 信頼区間と混同しないでください。平均値 - 1.96 SD から 平均値 + 1.96 SD までの区間は個々の観測値を記述する 95% の範囲であり、平均値の 95% 信頼区間は算術平均の統計的な不確かさを表します。

相対標準偏差（RSD）：標準偏差を平均値で割った値です。適切な場合は、この数値に 100 を掛けてパーセントで表すことができ、これを変動係数と呼びます。

平均値の標準誤差（SEM）：標準偏差をサンプルサイズの平方根で割って計算されます。

$$SEM = \frac{s}{\sqrt{n}} $$

SEM は、平均値の信頼区間を計算するために使用されます。観測値が正規分布または近似的に正規分布に従う場合、母平均は 95% の信頼度で区間 x̄ ± t SEM の中にあります。ここで t は、自由度 n−1、信頼度 95% の t 分布から求めます（t 分布の値の表を参照）。サンプルが大きい場合、t は 1.96 に近くなります。

歪度

歪度係数は、変数の分布の対称性の程度を表す尺度です。対応する P値が小さい場合（P<0.05）、変数の対称性は、歪度係数が 0 である正規分布の対称性と有意に異なります（Sheskin, 2011）。


負に歪んだ分布または左に裾を引く分布歪度 < 0		正規分布対称歪度 = 0		正に歪んだ分布または右に裾を引く分布歪度 > 0

尖度

尖度係数は、変数の分布の裾の「重さ」を表す尺度です（Westfall, 2014）。対応する P値が小さい場合（P<0.05）、変数の裾の重さは、尖度係数が 0 である正規分布の裾の重さと有意に異なります（Sheskin, 2011）。


緩尖的分布裾が軽い尖度 < 0		正規分布中尖的分布尖度 = 0		急尖的分布裾が重い尖度 > 0

正規分布の検定：この検定の結果は、「正規性を採択」または「正規性を棄却」として、P値とともに表示されます。P が 0.05 より大きい場合、データは正規分布に従うと仮定でき、「正規性を採択」という結論が表示されます。

P値が 0.05 より小さい場合、サンプルの観測値が正規分布に従うという仮説を棄却する必要があり、「正規性を棄却」という結論が表示されます。この場合、サンプルは算術平均と標準偏差では正確に記述できず、このようなサンプルに t検定などのパラメトリックな統計的検定や手順を適用すべきではありません。正規分布に従わないサンプル間の差を検定するには Wilcoxon 検定を使用でき、相関は順位相関で推定できます。

サンプルが小さい場合、選択した検定を実行できず、その旨のメッセージが表示されることがあります。この場合は、ヒストグラムまたは累積度数分布を用いて、分布の対称性と尖度を視覚的に評価できます。

パーセンタイル（または「センタイル」）：n 個の観測値を小さい値から大きい値の順に並べたとき、p パーセンタイルは次の順位の観測値に等しくなります（Lentner, 1982; Schoonjans et al., 2011）。

$$ R(p) = 0.5 + \frac {p \times n} {100} $$

順位 R(p) が整数の場合、パーセンタイルはサンプルの値と一致します。R(p) が分数の場合、パーセンタイルは R(p) に隣接する順位の値の間にあり、MedCalc は補間によってパーセンタイルを計算します。

R(p) の式は、次の場合にのみ有効です。

$$ \frac {1}{n} \leq \frac {p}{100} \leq \frac {n-1}{n} $$

たとえば、5 パーセンタイルと 95 パーセンタイルは、n ≥ 20 の場合にのみ推定できます。なぜなら、

$$ \frac {1}{20} \leq \frac {5}{100} \; \text{かつ} \; \frac {95}{100} \leq \frac {20-1}{20} $$

したがって、サンプルサイズが 20 未満の場合、5 パーセンタイルと 95 パーセンタイルを示すことには意味がありません。その場合は、少なくともサンプルサイズが 10 以上であれば、10 パーセンタイルと 90 パーセンタイルを示すことをお勧めします。

パーセンタイルは次のように解釈できます。観測値の p% が p パーセンタイルより下にあります。たとえば、観測値の 10% が 10 パーセンタイルより下にあります。

25 パーセンタイルは第 1 四分位数、50 パーセンタイルは第 2 四分位数（中央値に等しい）、75 パーセンタイルは第 3 四分位数と呼ばれます。

25 パーセンタイルと 75 パーセンタイルの数値の差が四分位範囲です。2.5 パーセンタイルと 97.5 パーセンタイルの間には値の 95% があり、この範囲を 95% 中央範囲と呼びます。90% 中央範囲は 5 パーセンタイルと 95 パーセンタイルで、80% 中央範囲は 10 パーセンタイルと 90 パーセンタイルで定義されます。

対数変換

対数変換オプションを選択した場合、プログラムは逆変換結果を表示します。逆変換した平均値は幾何平均と呼ばれます。分散、標準偏差、平均値の標準誤差は意味のある形で逆変換できないため、報告されません。

結果の提示

論文でデータを記述する際は、サンプルサイズと算術平均を示します。データのばらつきの指標として標準偏差を示すことができます：平均値は 25.6 mm（SD 3.2 mm）であった。平均値の精度を示すために、平均値の標準誤差を示すことができます：平均値は 25.6 mm（SE 1.6 mm）であった。

母平均について述べたい場合は、平均値と平均値の 95% 信頼区間を示すことができます：平均値は 25.6（95% 信頼区間 22.4～28.8）であった。

変数の分布が正に歪んでいる場合は、正規分布を得るためにデータに数学的な変換（たとえば対数変換や平方根変換）を適用できます。計算後、結果を元のスケールに戻すことができます。このとき、逆変換した標準偏差や平均値の標準誤差を報告することには意味がありません。代わりに、対数変換を適用した場合は信頼区間の真数（逆対数）を、平方根変換を適用した場合は信頼区間の 2 乗をとることができます（Altman et al., 1983）。こうして得られる信頼区間は対称ではなく、分布の形を反映します。たとえば、データを対数変換した後の平均値が 1.408 で、95% 信頼区間が 1.334～1.482 の場合、これらの統計量の真数をとり、次のように報告します：平均値は 25.6 mm（95% 信頼区間 21.6～30.3）であった。

対数変換やその他の変換を行っても変数が正規分布に従わない場合は、中央値とパーセンタイル範囲（たとえば四分位範囲、または 90% もしくは 95% 中央範囲）を報告することをお勧めします：中央値は 25.6 mm（95% 中央範囲 19.6～33.5 mm）であった。四分位範囲と 90% または 95% 中央範囲のどちらを使うかは、サンプルサイズを考慮して選択します（パーセンタイルを参照）（Altman, 1980）。

報告する統計量の精度は、元のデータの精度に合わせる必要があります。平均値と 95% 信頼区間は元データより小数点以下の桁を 1 桁多く示すことができ、標準偏差と標準誤差も小数点以下の桁を 1 桁多く示すことができます（Altman et al., 1983）。

最後に、本文や表の要約統計量をグラフで補うことができます（分布プロットを参照）。

文献

Altman DG (1980) Statistics and ethics in medical research. VI - Presentation of results. British Medical Journal 281:1542-1544.
Altman DG (1991) Practical statistics for medical research. London: Chapman and Hall.
Altman DG, Gore SM, Gardner MJ, Pocock SJ (1983) Statistical guidelines for contributors to medical journals. British Medical Journal 286:1489-1493.
Campbell MJ, Gardner MJ (1988) Calculating confidence intervals for some non-parametric analyses. British Medical Journal 296:1454-1456.
Lentner C (ed) (1982) Geigy Scientific Tables, 8^th edition, Volume 2. Basle: Ciba-Geigy Limited.
Schoonjans F, De Bacquer D, Schmid P (2011) Estimation of population percentiles. Epidemiology 22: 750-751.
Sheskin DJ (2011) Handbook of parametric and non-parametric statistical procedures. 5^th ed. Boca Raton: Chapman & Hall /CRC.
Westfall PH (2014) Kurtosis as Peakedness, 1905 - 2014. R.I.P. The American Statistician 68:191-195.

要約統計量

必要な入力

結果

対数変換

結果の提示

文献

関連項目