Samenvattende statistieken
| Opdracht: | Statistiek Samenvattende statistieken |
|---|
Berekent samenvattende statistieken: gemiddelde, mediaan, standaarddeviatie, percentielen enz.
Vereiste invoer
In het dialoogvenster Samenvattende statistieken selecteer je de variabele die je wilt bestuderen. Je kan ook een filter invoeren in het veld Selectie om alleen een geselecteerde subgroep van gevallen op te nemen, zoals beschreven in de Inleiding van deze handleiding.
Je kan op de keuzelijstknop klikken om een lijst van variabelen te verkrijgen. In deze lijst kan je een variabele selecteren door op de naam ervan te klikken.
Opties
- Logaritmische transformatie: als de gegevens een logaritmische transformatie vereisen (bv. wanneer de gegevens positief scheef verdeeld zijn), selecteer dan de optie Logaritmische transformatie.
- Toets op normale verdeling: zie Toetsen op normale verdeling.
- Klik op de knop Meer opties voor bijkomende opties:
- Percentielen: hiermee selecteer je de percentielen die je wilt bestuderen.
- Andere gemiddelden
- Getrimd gemiddelde: optie om een getrimd gemiddelde te berekenen. Je selecteert het percentage waarnemingen dat wordt weggelaten. Als je bijvoorbeeld 10% selecteert, dan worden de laagste 10% en de hoogste 10% van de waarnemingen weggelaten voor de berekening van het getrimde gemiddelde. Zie Berekening van het getrimde gemiddelde, de SE en het betrouwbaarheidsinterval voor de rekenkundige details.
- Geometrisch gemiddelde. Het geometrisch gemiddelde wordt gegeven door:
$$\left ( \prod_{i=1}^n{x_i} \right ) ^\tfrac1n = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} = \exp\left[\frac1n\sum_{i=1}^n\ln x_i\right] $$Deze optie is niet beschikbaar wanneer Logaritmische transformatie geselecteerd is (in dat geval is het gerapporteerde gemiddelde al het geometrisch gemiddelde).
- Harmonisch gemiddelde. Het harmonisch gemiddelde wordt gegeven door:
$$\frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}} $$Deze optie is niet beschikbaar wanneer Logaritmische transformatie geselecteerd is.
- Subgroepen: selecteer (optioneel) een categorische variabele om de gegevens op te splitsen in verschillende subgroepen (max. 8). De samenvattende statistieken worden gegeven voor alle gegevens en voor alle subgroepen.
$$\left ( \prod_{i=1}^n{x_i} \right ) ^\tfrac1n = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} = \exp\left[\frac1n\sum_{i=1}^n\ln x_i\right] $$
$$\frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}} $$
Resultaten
Variabele | WEIGHT |
|---|
Steekproefgrootte | 100 |
|---|---|
Laagste waarde | 59.0000 |
Hoogste waarde | 105.0000 |
Rekenkundig gemiddelde | 77.0400 |
95%-CI voor het rekenkundig gemiddelde | 75.1377 tot 78.9423 |
Mediaan | 77.0000 |
95%-CI voor de mediaan | 74.0000 tot 79.0000 |
Variantie | 91.9176 |
Standaarddeviatie | 9.5874 |
Relatieve standaarddeviatie | 0.1244 (12.44%) |
Standaardfout van het gemiddelde | 0.9587 |
Scheefheidscoëfficiënt | 0.3684 (P=0.1242) |
Kurtosiscoëfficiënt | -0.2175 (P=0.7336) |
Shapiro-Wilk-toets | W=0.9835 |
Percentielen |
| 95%-betrouwbaarheidsinterval |
|---|---|---|
2.5 | 60.0000 |
|
5 | 62.5000 | 59.0000 tot 65.1396 |
10 | 65.5000 | 62.0539 tot 67.7165 |
25 | 70.0000 | 68.0000 tot 72.0000 |
75 | 83.5000 | 80.0000 tot 86.0000 |
90 | 90.0000 | 86.0000 tot 94.9461 |
95 | 94.5000 | 90.7207 tot 99.8311 |
97.5 | 95.0000 |
|
  | Boxplot |
Steekproefgrootte: het aantal gevallen
De laagste waarde en de hoogste waarde van alle waarnemingen (bereik).
Rekenkundig gemiddelde: het rekenkundig gemiddelde $\bar{x}$ is de som van alle waarnemingen gedeeld door het aantal waarnemingen
$$\begin{align}
\bar{x} & = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} \\
& = {1 \over n} \sum_{i=1}^{n}{x_i} \\
& = {1 \over n} \sum_{}^{}{x}
\end{align}$$
95%-betrouwbaarheidsinterval (CI) voor het gemiddelde: dit is een bereik van waarden, berekend met de verderop beschreven methode (zie Standaardfout van het gemiddelde), dat het populatiegemiddelde met een waarschijnlijkheid van 95% bevat.
Mediaan: wanneer je
95%-betrouwbaarheidsinterval (CI) voor de mediaan: dit is een bereik van waarden dat de populatiemediaan met een waarschijnlijkheid van 95% bevat (Campbell & Gardner, 1988). Dit 95%-betrouwbaarheidsinterval kan alleen worden berekend wanneer de steekproefgrootte niet te klein is.
Variantie: de variantie is het gemiddelde van de kwadraten van de verschillen tussen alle waarden en het rekenkundig gemiddelde. De variantie (s2) wordt berekend met de formule:
$$s^2 = \frac{\sum_{}^{}{(x-\bar{x})^2}}{n-1} $$
Standaarddeviatie: de standaarddeviatie (s of SD) is de vierkantswortel van de variantie en is een maat voor de spreiding van de gegevens:
$$s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(x-\bar{x})^2}}{n-1}} $$
Wanneer de waarnemingen normaal verdeeld zijn, dan mag je aannemen dat 95% van alle waarnemingen in het interval gemiddelde - 1,96 SD tot gemiddelde + 1,96 SD ligt (zie de tabel Waarden van de normale verdeling voor andere waarden).
Dit interval mag niet worden verward met het kleinere 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde. Het interval gemiddelde - 1,96 SD tot gemiddelde + 1,96 SD is een beschrijvend 95%-bereik voor de individuele waarnemingen, terwijl het 95%-CI voor het gemiddelde de statistische onzekerheid van het rekenkundig gemiddelde weergeeft.
Relatieve standaarddeviatie (RSD): dit is de standaarddeviatie gedeeld door het gemiddelde. Indien gepast kan dit getal als percentage worden uitgedrukt door het met 100 te vermenigvuldigen; zo verkrijg je de variatiecoëfficiënt.
Standaardfout van het gemiddelde (SEM): wordt berekend door de standaarddeviatie te delen door de vierkantswortel van de steekproefgrootte.
$$SEM = \frac{s}{\sqrt{n}} $$
De SEM wordt gebruikt om betrouwbaarheidsintervallen voor het gemiddelde te berekenen. Wanneer de waarnemingen normaal of bij benadering normaal verdeeld zijn, dan ligt het populatiegemiddelde met 95% betrouwbaarheid in het interval x̄ ± t SEM, waarbij t ontleend wordt aan de t-verdeling met n−1 vrijheidsgraden en een betrouwbaarheid van 95% (zie de tabel Waarden van de t-verdeling). Voor grote steekproeven ligt t dicht bij 1,96.
Scheefheid
De scheefheidscoëfficiënt is een maat voor de mate van symmetrie van de verdeling van de variabele. Als de bijbehorende P-waarde laag is (P<0,05), dan verschilt de symmetrie van de variabele significant van die van een normale verdeling, die een scheefheidscoëfficiënt gelijk aan 0 heeft (Sheskin, 2011).
 |  |  |
||
| Negatief scheve verdeling of linksscheef Scheefheid < 0 | Normale verdeling Symmetrisch Scheefheid = 0 | Positief scheve verdeling of rechtsscheef Scheefheid > 0 |
Kurtosis
De kurtosiscoëfficiënt is een maat voor het “gewicht” van de staarten van de verdeling van de variabele (Westfall, 2014). Als de bijbehorende P-waarde laag is (P<0,05), dan verschilt het gewicht van de staarten van de variabele significant van dat van een normale verdeling, die een kurtosiscoëfficiënt gelijk aan 0 heeft (Sheskin, 2011).
 | |  |
||
| Platykurtische verdeling Dunnere staarten Kurtosis < 0 | Normale verdeling Mesokurtische verdeling Kurtosis = 0 | Leptokurtische verdeling Dikkere staarten Kurtosis > 0 |
Toets op normale verdeling: het resultaat van deze toets wordt uitgedrukt als ‘normaliteit aanvaarden’ of ‘normaliteit verwerpen’, met de P-waarde. Als P groter is dan 0,05, dan mag je aannemen dat de gegevens normaal verdeeld zijn en wordt de conclusie ‘normaliteit aanvaarden’ weergegeven.
Als de P-waarde kleiner is dan 0,05, dan moet de hypothese dat de waarnemingen in de steekproef normaal verdeeld zijn, worden verworpen en wordt de conclusie ‘normaliteit verwerpen’ weergegeven. In dat laatste geval kan de steekproef niet nauwkeurig worden beschreven met het rekenkundig gemiddelde en de standaarddeviatie, en mogen zulke steekproeven niet worden onderworpen aan parametrische statistische toetsen of procedures, zoals bv. een t-toets. Om het mogelijke verschil tussen niet-normaal verdeelde steekproeven te toetsen, kan je de Wilcoxon-toets gebruiken, en de correlatie kan worden geschat met rangcorrelatie.
Wanneer de steekproef klein is, is het mogelijk dat de geselecteerde toets niet kan worden uitgevoerd en verschijnt er een passend bericht. In dat geval kan je de symmetrie en de gepiektheid van de verdeling visueel beoordelen met het histogram of de cumulatieve frequentieverdeling.
Percentielen (of “centielen”): wanneer je
$$ R(p) = 0{,}5 + \frac {p \times n} {100} $$
Wanneer het rangnummer R(
De formule voor R(
$$ \frac {1}{n} \leq \frac {p}{100} \leq \frac {n-1}{n} $$
Het 5e en het 95e percentiel kunnen bijvoorbeeld alleen worden geschat wanneer n ≥ 20, aangezien
$$ \frac {1}{20} \leq \frac {5}{100} \; \text{en} \; \frac {95}{100} \leq \frac {20-1}{20} $$
Het heeft dus geen zin om het 5e en het 95e percentiel te vermelden wanneer de steekproefgrootte kleiner is dan 20. In dat geval is het aangewezen om het 10e en het 90e percentiel te vermelden, tenminste als de steekproefgrootte niet kleiner is dan 10.
De percentielen kunnen als volgt worden geïnterpreteerd:
Het 25e percentiel wordt het 1e kwartiel genoemd, het 50e percentiel is het 2e kwartiel (en is gelijk aan de mediaan) en het 75e percentiel is het 3e kwartiel.
Het numerieke verschil tussen het 25e en het 75e percentiel is de interkwartielafstand. Tussen het 2,5e en het 97,5e percentiel ligt 95% van de waarden; dit bereik wordt het 95%-centraal bereik genoemd. Het 90%-centraal bereik wordt bepaald door het 5e en het 95e percentiel, en het 10e en het 90e percentiel bepalen het 80%-centraal bereik.
Logaritmische transformatie
Als de optie Logaritmische transformatie geselecteerd werd, dan geeft het programma de teruggetransformeerde resultaten weer. Het teruggetransformeerde gemiddelde wordt het geometrisch gemiddelde genoemd. De variantie, de standaarddeviatie en de standaardfout van het gemiddelde kunnen niet zinvol worden teruggetransformeerd en worden niet gerapporteerd.
Presentatie van de resultaten
De beschrijving van de gegevens in een publicatie omvat de steekproefgrootte en het rekenkundig gemiddelde. De standaarddeviatie kan worden vermeld als indicator van de variabiliteit van de gegevens: het gemiddelde was 25,6 mm (SD 3,2 mm). De standaardfout van het gemiddelde kan worden vermeld om de precisie van het gemiddelde weer te geven: het gemiddelde was 25,6 mm (SE 1,6 mm).
Wanneer je een uitspraak wilt doen over het populatiegemiddelde, kan je het gemiddelde en het 95%-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde vermelden: het gemiddelde was 25,6 (95%-CI 22,4 tot 28,8).
Als de verdeling van de variabele positief scheef is, dan kan een wiskundige transformatie van de gegevens worden toegepast om een normale verdeling te verkrijgen, bv. een logaritmische transformatie of een vierkantsworteltransformatie. Na de berekeningen kan je de resultaten terug omzetten naar de oorspronkelijke schaal. Het heeft dan geen zin om de teruggetransformeerde standaarddeviatie of standaardfout van het gemiddelde te rapporteren. In plaats daarvan kan je de antilogaritme van het betrouwbaarheidsinterval nemen als een logaritmische transformatie werd toegepast, of het betrouwbaarheidsinterval kwadrateren als je een vierkantsworteltransformatie hebt toegepast (Altman et al., 1983). Het resulterende betrouwbaarheidsinterval is dan niet symmetrisch, wat de vorm van de verdeling weerspiegelt. Als bijvoorbeeld na logaritmische transformatie van de gegevens het gemiddelde 1,408 is en het 95%-betrouwbaarheidsinterval 1,334 tot 1,482, dan neem je de antilogaritme van deze statistieken en rapporteer je: het gemiddelde was 25,6 mm (95%-CI 21,6 tot 30,3).
Als de variabele zelfs na logaritmische of een andere transformatie niet normaal verdeeld is, dan is het beter om de mediaan en een percentielbereik te rapporteren, bv. de interkwartielafstand of het 90%- of 95%-centraal bereik: de mediaan was 25,6 mm (95%-centraal bereik 19,6 tot 33,5 mm). Bij de keuze tussen de interkwartielafstand en het 90%- of 95%-centraal bereik hou je rekening met de steekproefgrootte (zie percentielen) (Altman, 1980).
De precisie van de gerapporteerde statistieken moet overeenkomen met de precisie van de oorspronkelijke gegevens. Het gemiddelde en het 95%-CI kunnen met één decimaal meer dan de ruwe gegevens worden vermeld; de standaarddeviatie en de standaardfout kunnen met één extra decimaal worden vermeld (Altman et al., 1983).
Tot slot kunnen de samenvattende statistieken in de tekst of tabel worden aangevuld met een grafiek (zie verdelingsgrafieken).
Literatuur
- Altman DG (1980) Statistics and ethics in medical research. VI - Presentation of results. British Medical Journal 281:1542-1544.
- Altman DG (1991) Practical statistics for medical research. London: Chapman and Hall.
- Altman DG, Gore SM, Gardner MJ, Pocock SJ (1983) Statistical guidelines for contributors to medical journals. British Medical Journal 286:1489-1493.
- Campbell MJ, Gardner MJ (1988) Calculating confidence intervals for some non-parametric analyses. British Medical Journal 296:1454-1456.
- Lentner C (ed) (1982) Geigy Scientific Tables, 8th edition, Volume 2. Basle: Ciba-Geigy Limited.
- Schoonjans F, De Bacquer D, Schmid P (2011) Estimation of population percentiles. Epidemiology 22: 750-751.
- Sheskin DJ (2011) Handbook of parametric and non-parametric statistical procedures. 5th ed. Boca Raton: Chapman & Hall /CRC.
- Westfall PH (2014) Kurtosis as Peakedness, 1905 - 2014. R.I.P. The American Statistician 68:191-195.