Ковариационный анализ

Команда:

Статистика

Дисперсионный анализ

Ковариационный анализ (ANCOVA) позволяет сравнить одну переменную в 2 или более группах с учетом вариабельности других переменных, называемых ковариатами (или с поправкой на нее).

Ковариационный анализ сочетает однофакторный или двухфакторный дисперсионный анализ с линейной регрессией (общая линейная модель, GLM).

Порядок ввода данных

Данные

	A	B	C	D
	FactorA	FactorB	VarX	VarY
1	1	1	206	226
2	1	1	239	229
3	1	1	217	215
4	1	1	177	188
5	2	1	248	229
6	2	1	208	190
7	2	1	225	195
8	2	1	239	202
9	1	0	252	226
10	1	0	228	196
11	1	0	240	198
12	1	0	246	206
13	2	0	190	177
14	2	0	261	225
15	2	0	194	167
16	2	0	217	176

В этом примере (данные из Wildt & Ahtola, 1978) введены данные для 2 факторных переменных с именами "FactorA" и "FactorB". Переменная "VarY" — зависимая переменная, и имеется одна ковариата "VarX".

Необходимые входные данные

Ковариационный анализ

В диалоговом окне ANCOVA выберите:

Зависимая переменная: (непрерывная) зависимая переменная
Факторы: одна категориальная переменная для однофакторного ANCOVA или две категориальные переменные для двухфакторного ANCOVA.
Ковариаты: одна или несколько ковариат.
Фильтр: (необязательно) фильтр для включения только выбранной подгруппы случаев.

Остатки

При необходимости выберите критерий для нормального распределения остатков.

Результаты

Ковариационный анализ

Зависимая	VarY

Объем выборки	16

Критерий Левена на равенство дисперсий

F	DF 1	DF 2	P
0.08694	3	12	0.966

Однородность наклона линий регрессии

Источник	Сумма квадратов	DF	Средний квадрат	F	P
Разнородность наклона линий	86.850	3	28.950	0.255	0.855
Отдельный остаток	906.789	8	113.349

Критерии межсубъектных эффектов

Источник	Сумма квадратов	DF	Средний квадрат	F	P
Скорректированная модель	5286.799	4	1321.700	14.632	<0.001
Отрезок	156.577	1	156.577	1.733	0.215
VarX	3583.111	1	3583.111	39.667	<0.001
FactorA	696.042	1	696.042	7.705	0.018
FactorB	1427.415	1	1427.415	15.802	0.002
FactorA*FactorB	462.334	1	462.334	5.118	0.045
Остаток	993.639	11	90.331
Всего	664407.000	16
Скорректированное суммарное значение	6280.438	15

Величина эффекта

Источник	Частная эта-квадрат	95% ДИ
VarX	0.783	от 0.408 до 0.874
FactorA	0.412	от 0.0115 до 0.658
FactorB	0.590	от 0.126 до 0.764
FactorA*FactorB	0.318	от 0.000 до 0.597

Коэффициент детерминации R²	0.8418
С коррекцией по R²	0.7843

1. FactorA

Оцененные маргинальные средние

FactorA	n	Среднее	Станд. Ошибка	Доверительный интервал 95%
1	8	209.4251	3.3646	от 202.0197 до 216.8306
2	8	196.1999	3.3646	от 188.7944 до 203.6053

Парные сравнения

Факторы			Средняя разность	Станд. Ошибка	P ^a	95% ДИ ^a
1	-	2	13.2253	4.7644	0.0180	от 2.7390 до 23.7116
2	-	1	-13.2253	4.7644	0.0180	от -23.7116 до -2.7390

^a С поправкой Бонферрони

2. FactorB

Оцененные маргинальные средние

FactorB	n	Среднее	Станд. Ошибка	Доверительный интервал 95%
0	8	193.1504	3.3990	от 185.6692 до 200.6317
1	8	212.4746	3.3990	от 204.9933 до 219.9558

Парные сравнения

Факторы			Средняя разность	Станд. Ошибка	P ^a	95% ДИ ^a
0	-	1	-19.3242	4.8612	0.0022	от -30.0236 до -8.6247
1	-	0	19.3242	4.8612	0.0022	от 8.6247 до 30.0236

^a С поправкой Бонферрони

3. FactorA*FactorB

Оцененные маргинальные средние

FactorA	FactorB	n	Среднее	Станд. Ошибка	Доверительный интервал 95%
1	0	4	193.5550	5.1776	от 182.1592 до 204.9507
	1	4	225.2953	5.0518	от 214.1764 до 236.4143
2	0	4	192.7459	4.8628	от 182.0430 до 203.4488
	1	4	199.6538	4.8020	от 189.0848 до 210.2229

Сводная статистика для зависимой переменной и ковариат(ы)

Переменная	Среднее	Среднеквадратическое отклонение
VarY	202.8125	20.4621
VarX	224.1875	24.3289

Остатки

Критерий Шапиро — Уилка для нормального распределения	W=0.9180 Принять нормальность (P=0.1566)

Критерий Левена на равенство дисперсий

Перед ковариационным анализом выполняется критерий Левена на равенство дисперсий. Если критерий Левена положителен (P<0,05), дисперсии в группах различаются (группы неоднородны) и, следовательно, допущения ковариационного анализа не выполняются.

Однородность наклона линий регрессии

Интерпретация ковариационного анализа и соответствующих скорректированных средних основывается на допущении об однородности наклона линий регрессии в различных группах (Huitema, 1980). Если это допущение не выполняется (P<0,05), результаты ковариационного анализа ненадежны.

Критерии межсубъектных эффектов

Если вычисленные значения P для двух главных факторов A и B или для двухфакторного взаимодействия меньше общепринятого значения 0,05 (5%), соответствующая нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза о том, что различия между группами действительно существуют.

Если двухфакторное взаимодействие (FactorA*FactorB) значимо, влияние фактора A зависит от уровня фактора B, и интерпретировать средние и разности между средними (см. ниже) для главных факторов не рекомендуется.

Величина эффекта

Частная эта-квадрат (partial η²) — мера величины эффекта для каждого фактора, ковариаты и члена взаимодействия в модели: она выражает долю дисперсии зависимой переменной, объясняемую данным членом, относительно дисперсии, не объясняемой другими членами модели (т. е. суммы дисперсии, объясняемой этим членом, и остаточной дисперсии/дисперсии ошибки). Она принимает значения от 0 (эффекта нет) до 1. MedCalc также приводит 95% доверительный интервал для частной эта-квадрат, основанный на нецентральном F-распределении (Steiger, 2004).

Ориентировочно (Cohen, 1988) значение частной эта-квадрат около 0,01 указывает на малый эффект, 0,06 — на средний эффект, а 0,14 и более — на большой эффект.

Оцененные маргинальные средние

В следующих таблицах для всех уровней двух факторов приводятся маргинальные средние (иногда называемые «скорректированными средними») со стандартной ошибкой и 95% доверительным интервалом. Кроме того, приводятся разности между группами со стандартной ошибкой, значением P с поправкой Бонферрони и 95% доверительным интервалом разностей.

Общая линейная модель

Поскольку эта процедура ANCOVA реализует общую линейную модель (GLM), она:

сводится к однофакторному дисперсионному анализу, если ковариаты не заданы и задан только один фактор
сводится к двухфакторному дисперсионному анализу, если заданы 2 фактора, но не заданы ковариаты
сводится к множественной регрессии, если факторы не заданы.

Анализ остатков

Ковариационный анализ предполагает, что остатки (разности между наблюдениями и значениями, полученными по модели) распределены нормально. Это допущение можно проверить формальным критерием или графическими методами.

Различные формальные критерии нормальности распределения при малом объеме выборки могут не обладать достаточной мощностью для выявления отклонения от нормального распределения. С другой стороны, при большом объеме выборки требование нормальности распределения менее строго благодаря центральной предельной теореме.

Поэтому часто предпочтительнее визуально оценить симметричность и островершинность распределения остатков с помощью гистограммы, диаграммы «ящик с усами» или графика нормального распределения.

Для этого щелкните гиперссылку «Сохранить остатки» в окне результатов. Значения остатков будут сохранены в электронной таблице как новая переменная. Затем эту новую переменную можно использовать в различных графиках распределения.

Литература

Cohen J (1988) Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences, 2^nd ed. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Glantz SA, Slinker BK (2001) Primer of applied regression & analysis of variance. 2^nd ed. McGraw-Hill.
Huitema BE (1980) The analysis of covariance and alternatives. Wiley-Interscience.
Neter J, Kutner MH, Nachtsheim CJ, Wasserman W (1996) Applied linear statistical models. 4^th ed. McGraw-Hill.
Steiger JH (2004) Beyond the F test: Effect size confidence intervals and tests of close fit in the analysis of variance and contrast analysis. Psychological Methods 9:164-182.
Wildt AR, Ahtola OT (1978) Analysis of covariance. Sage Publications.

См. также

Внешние ссылки

Analysis of covariance в Википедии (на английском языке).