协方差分析

命令:	统计 ANOVA 协方差分析

协方差分析（ANCOVA）可以在考虑（或调整）另一个变量（即协变量）变异的情况下，在两个或更多组之间比较一个变量。

协方差分析是单因素或双因素方差分析与线性回归的结合（一般线性模型，GLM）。

如何输入数据

数据

A1

1

	A	B	C	D	E
	FactorA	FactorB	VarX	VarY
1	1	1	206	226
2	1	1	239	229
3	1	1	217	215
4	1	1	177	188
5	2	1	248	229
6	2	1	208	190
7	2	1	225	195
8	2	1	239	202
9	1	0	252	226
10	1	0	228	196
11	1	0	240	198
12	1	0	246	206
13	2	0	190	177
14	2	0	261	225
15	2	0	194	167
16	2	0	217	176

在本例（数据来自 Wildt & Ahtola, 1978）中，输入“FactorA”和“FactorB”两个因子变量的数据。变量“VarY”为因变量，协变量为“VarX”一个。

所需输入

在 ANCOVA 对话框中选择以下各项：

• 因变量：（连续）因变量
• 因子：单因素 ANCOVA 使用一个分类变量，双因素析因 ANCOVA 使用两个分类变量。
• 协变量：一个或多个协变量。
• 筛选条件：用于只包含所选个案亚组的可选筛选条件。

残差

可以选择对残差进行正态分布检验。

结果

协方差分析

因变量	VarY

样本量	16

Levene 等方差检验

F	DF 1	DF 2	P
0.08694	3	12	0.966

回归斜率的齐性

来源	平方和	DF	均方	F	P
斜率的异质性	86.850	3	28.950	0.255	0.855
单个残差	906.789	8	113.349

受试者间效应检验

来源	平方和	DF	均方	F	P
校正的模型	5286.799	4	1321.700	14.632	<0.001
截距	156.577	1	156.577	1.733	0.215
VarX	3583.111	1	3583.111	39.667	<0.001
FactorA	696.042	1	696.042	7.705	0.018
FactorB	1427.415	1	1427.415	15.802	0.002
FactorA*FactorB	462.334	1	462.334	5.118	0.045
残差	993.639	11	90.331
总和	664407.000	16
校正的总数	6280.438	15

效应量

来源	偏 Eta 平方	95% CI
VarX	0.783	0.408至0.874
FactorA	0.412	0.0115至0.658
FactorB	0.590	0.126至0.764
FactorA*FactorB	0.318	0.000至0.597

决定系数R2	0.8418
调整 R2	0.7843

1. FactorA

估计边际均值

FactorA	n	均值	标准误	95%的置信区间
1	8	209.4251	3.3646	202.0197至216.8306
2	8	196.1999	3.3646	188.7944至203.6053

两两比较

因子			均值差	标准误	P a	95% CI a
1	-	2	13.2253	4.7644	0.0180	2.7390至23.7116
2	-	1	-13.2253	4.7644	0.0180	-23.7116至-2.7390

 ^a Bonferroni 校正

2. FactorB

估计边际均值

FactorB	n	均值	标准误	95%的置信区间
0	8	193.1504	3.3990	185.6692至200.6317
1	8	212.4746	3.3990	204.9933至219.9558

两两比较

因子			均值差	标准误	P a	95% CI a
0	-	1	-19.3242	4.8612	0.0022	-30.0236至-8.6247
1	-	0	19.3242	4.8612	0.0022	8.6247至30.0236

 ^a Bonferroni 校正

3. FactorA*FactorB

估计边际均值

FactorA	FactorB	n	均值	标准误	95%的置信区间
1	0	4	193.5550	5.1776	182.1592至204.9507
	1	4	225.2953	5.0518	214.1764至236.4143
2	0	4	192.7459	4.8628	182.0430至203.4488
	1	4	199.6538	4.8020	189.0848至210.2229

因变量和协变量的汇总统计

变量	均值	标准差
VarY	202.8125	20.4621
VarX	224.1875	24.3289

残差

Shapiro–Wilk 检验 正态分布	W=0.9180 接受正态性（P=0.1566）

保存预测值 - 保存残差

Levene 等方差检验

在 ANCOVA 检验之前，先进行 Levene 等方差检验。如果 Levene 检验结果为阳性（P<0.05），则各组的方差不同（各组不齐），不满足 ANCOVA 的条件。

回归斜率的齐性

ANCOVA 及其调整均值的解释基于各组回归斜率齐性的假设（Huitema, 1980）。如果不满足这一假设（P<0.05），ANCOVA 的结果不可靠。

受试者间效应检验

如果为两个主因子 A 和 B 或两个因子的交互作用计算出的 P值小于通常的 0.05（5%），则拒绝相应的零假设，接受各组之间确实存在差异的备择假设。

如果两个因子的交互作用（FactorA*FactorB）具有显著性，则因子 A 的效应取决于因子 B 的水平，因此不建议解释主因子的均值或均值之间的差异（见下文）。

效应量

偏 Eta 平方（偏 η²）是衡量模型中每个因子、协变量和交互作用项效应量的指标。它表示该项所解释的因变量方差，相对于模型中其他项未解释的方差（即该项解释的方差与残差/误差方差之和）所占的比例，取值范围为 0（无效应）至 1。MedCalc 还报告基于非中心 F 分布的偏 Eta 平方的 95% 置信区间（Steiger, 2004）。

根据经验法则（Cohen, 1988），偏 Eta 平方约为 0.01 时表示小效应，0.06 表示中等效应，0.14 及以上表示大效应。

估计边际均值

下表列出两个因子所有水平的边际均值（也称为“调整均值”）及其标准误和 95% 置信区间。此外还报告各组之间的差异及其标准误、经 Bonferroni 校正的 P值和差值的 95% 置信区间。

一般线性模型

由于此 ANCOVA 过程实现的是一般线性模型（GLM），因此：

• 只指定一个因子且没有协变量时，为单因素方差分析
• 指定两个因子且没有协变量时，为双因素方差分析
• 不指定因子时，为多元回归

残差分析

ANCOVA 假设残差（观测值与模型值之差）服从正态分布。可以用正式检验或图形方法评估这一假设。

样本量较小时，各种正式的正态分布检验可能没有足够的检验效能来检测偏离正态分布的情况。另一方面，样本量较大时，由于中心极限定理，对正态分布的要求并不那么严格。

因此，通常更可取的做法是用直方图、箱线图或正态概率图直观评估残差分布的对称性和峰度。

为此，请单击结果窗口中的“保存残差”超链接。残差将作为新变量保存在电子表格中，然后可以在各种分布图中使用该新变量。

参考文献

• Cohen J (1988) Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences, 2^nd ed. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
• Glantz SA, Slinker BK (2001) Primer of applied regression & analysis of variance. 2^nd ed. McGraw-Hill.
• Huitema BE (1980) The analysis of covariance and alternatives. Wiley-Interscience.
• Neter J, Kutner MH, Nachtsheim CJ, Wasserman W (1996) Applied linear statistical models. 4^th ed. McGraw-Hill.
• Steiger JH (2004) Beyond the F test: Effect size confidence intervals and tests of close fit in the analysis of variance and contrast analysis. Psychological Methods 9:164-182.
• Wildt AR, Ahtola OT (1978) Analysis of covariance. Sage Publications.

另请参阅

• 单因素方差分析
• 双因素方差分析
• 重复测量方差分析
• Kruskal–Wallis 检验
• Friedman 检验

外部链接

• Analysis of covariance（Wikipedia，英语）