BCₐ Bootstrap 置信区间计算的技术说明

在估计 BC_a Bootstrap 置信区间时，MedCalc 对偏差校正因子的常用公式进行了校正。

在关于 Bootstrap 置信区间的论文中，DiCiccio 和 Efron（1996）用下式估计 BC_a Bootstrap 置信区间的偏差校正因子 $ \hat{z}_0 $：

$$ \hat{z}_0 = Φ^{-1} \Biggl( \frac { \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) < \hat{\theta} \right \} } { B } \Biggr) $$

该表达式是在统计量为连续型的假设下推导出来的，因此 $ \Pr \left ( \hat{\theta}\!\,^{ *} = \hat{\theta} \right ) = 0 $，不会出现结值（ties）。然而，许多需要计算 BC_a 区间的统计量并不满足这一假设。经验 ROC 曲线下面积、基于秩计算的 Kendall τ 以及样本百分位数都只在离散的格点上取值：恰好等于 $ \hat{\theta} $ 的 Bootstrap 重复值很常见，在小样本中它们可能占 Bootstrap 分布的相当大一部分。

请注意，当一半的 $ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) $ 值低于 $ \hat{\theta} $、另一半高于 $ \hat{\theta} $ 时，$ \hat{z}_0 $ 应等于零（Efron & Tibshirani，1994）。然而，在存在结值的情况下，只计数严格低于 $ \hat{\theta} $ 的重复值会低估位于其下方的比例，因此 $ \hat{z}_0 $ 偏低。

例如，当某个目标参数的原始估计值为 5，而 9 个 Bootstrap 重复值分别为 1、2、3、4、5、6、7、8 和 9 时，并不存在偏差，但按照上述公式，低于 5 的重复值比例为 4/9，而要得到等于 0 的 $ \hat{z}_0 $，该比例应为 4.5/9 = 0.5。

由于 $ \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) < \hat{\theta} \right \} $ 永远不会超过 $ \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) < \hat{\theta} \right \} + \tfrac{1}{2} \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) = \hat{\theta} \right \} $，由此产生的误差是系统性的，而不是随机的：只要存在结值，$ \hat{z}_0 $ 就会向下偏倚，置信区间的两个端点都取在 Bootstrap 分布中比应有位置更低的百分位数上。区间发生了位移，而不仅仅是噪声增大。

因此，MedCalc 在 $ \hat{z}_0 $ 的公式中使用以下校正：

$$ \hat{z}_0 = Φ^{-1} \Biggl( \dfrac { \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) < \hat{\theta} \right \} + \dfrac { \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) = \hat{\theta} \right \} } {2} } { B } \Biggr) $$

采用这一校正后，当 $ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) $ 中低于和高于 $ \hat{\theta} $ 的比例相同时，即使存在结值，也能得到 $ \hat{z}_0 $ = 0。

校正后的表达式是将分位数函数应用于 Bootstrap 分布的中分布函数（Parzen，1979），

$$ \tilde{F}(x) = \Pr \left ( X < x \right ) + \tfrac{1}{2} \Pr \left ( X = x \right ) $$

并在 $ \hat{\theta} $ 处取值。当把针对连续变量推导出的公式应用于离散变量时，将每个结值的一半分配到两侧是处理结值的惯用做法；离散分布精确检验中的 mid-P值（Lancaster，1961）以及 Wilcoxon 和 Mann–Whitney 等秩检验中使用的平均秩，依据的都是同一方法。因此，这一校正并非 Bootstrap 所特有；而且当统计量确实为连续型时，结值计数为零，DiCiccio 和 Efron 的公式保持不变。

所有重复值均相同时的表现

该校正还消除了一种数值计算失败。如果没有任何 Bootstrap 重复值严格低于 $ \hat{\theta} $，而有一些等于 $ \hat{\theta} $，未校正的公式会计算 $ Φ^{-1}(0) $，其值不是有限的。在每个重复值都等于 $ \hat{\theta} $ 的极端情况下（这可能发生在包含许多相同值的小样本中），未校正的公式完全失效，而校正后的公式返回 $ Φ^{-1}(0.5) = 0 $，对于完全没有位移的 Bootstrap 分布，这正是正确的答案。

校正的适用范围

上述论证基于内部一致性：在可以通过直接观察确定 $ \hat{z}_0 $ 正确值的情况下，校正后的公式能返回该值，而未校正的公式则不能。这并不是关于覆盖率的结论。BC_a 区间的二阶精确性是针对光滑统计量建立的，而对于在格点上取值的统计量，无论使用哪个版本的公式，都无法获得这一保证。该校正所做的是消除 $ \hat{z}_0 $ 估计中系统性的、有方向的误差；它并不能在离散情况下恢复区间的渐近性质。

类似的局限也适用于根据刀切法（Jackknife）值估计的加速常数 $ \hat{a} $。对于在移除单个观测值时不能平滑响应的统计量，刀切法本身就不可靠，而出现结值的正是这类统计量。因此，校正 $ \hat{z}_0 $ 只解决了进入 BC_a 端点的两个常数之一；对于明显不光滑的统计量，$ \hat{a} $ 的估计仍是较薄弱的一环。

参考文献

DiCiccio TJ, Efron B (1996) Bootstrap Confidence Intervals. Statistical Science 11:189-228.
Efron B, Tibshirani RJ (1994) An introduction to the bootstrap. Chapman & Hall/CRC: Boca Raton; p 186.
Lancaster HO (1961) Significance tests in discrete distributions. Journal of the American Statistical Association 56:223-234.
Parzen E (1979) Nonparametric statistical data modeling. Journal of the American Statistical Association 74:105-121.