Note technique sur le calcul des intervalles de confiance bootstrap BCₐ

MedCalc utilise une correction de la formule habituelle du facteur de correction du biais utilisé pour l'estimation des intervalles de confiance bootstrap BC_a.

Dans leur article sur les intervalles de confiance bootstrap, DiCiccio et Efron (1996) estiment le facteur de correction du biais $ \hat{z}_0 $ de l'intervalle de confiance bootstrap BC_a par

$$ \hat{z}_0 = Φ^{-1} \Biggl( \frac { \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) < \hat{\theta} \right \} } { B } \Biggr) $$

Cette expression est établie en supposant que la statistique est continue, de sorte que $ \Pr \left ( \hat{\theta}\!\,^{ *} = \hat{\theta} \right ) = 0 $ et qu'il n'y a pas d'ex aequo. Or, de nombreuses statistiques pour lesquelles on souhaite obtenir des intervalles BC_a ne satisfont pas cette hypothèse. L'aire sous une courbe ROC empirique, le tau de Kendall calculé sur des rangs et les centiles d'échantillon prennent tous leurs valeurs sur un réseau discret : les réplications bootstrap exactement égales à $ \hat{\theta} $ sont fréquentes et, dans les petits échantillons, elles peuvent représenter une part importante de la distribution bootstrap.

Notez que lorsque la moitié des valeurs $ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) $ sont inférieures à $ \hat{\theta} $ et l'autre moitié supérieures, $ \hat{z}_0 $ devrait être égal à zéro (Efron & Tibshirani, 1994). En présence d'ex aequo, cependant, le fait de ne compter que les réplications strictement inférieures à $ \hat{\theta} $ sous-estime la proportion située en dessous, et $ \hat{z}_0 $ est donc trop faible.

Par exemple, lorsque l'estimation initiale d'un paramètre d'intérêt est 5 et que 9 réplications bootstrap valent 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, il n'y a pas de biais, mais la proportion de réplications inférieures à 5 est de 4/9 selon la formule ci-dessus, alors qu'elle devrait être de 4,5/9 = 0,5 pour obtenir un $ \hat{z}_0 $ égal à 0.

Comme $ \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) < \hat{\theta} \right \} $ ne peut jamais dépasser $ \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) < \hat{\theta} \right \} + \tfrac{1}{2} \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) = \hat{\theta} \right \} $, l'erreur qui en résulte est systématique et non aléatoire : chaque fois qu'il y a des ex aequo, $ \hat{z}_0 $ est biaisé vers le bas, et les deux bornes de l'intervalle de confiance sont prises à des centiles de la distribution bootstrap plus bas qu'elles ne devraient l'être. L'intervalle est décalé, et pas seulement rendu plus bruité.

MedCalc utilise donc la correction suivante dans la formule de $ \hat{z}_0 $ :

$$ \hat{z}_0 = Φ^{-1} \Biggl( \dfrac { \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) < \hat{\theta} \right \} + \dfrac { \# \left \{ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) = \hat{\theta} \right \} } {2} } { B } \Biggr) $$

Avec cette correction, on obtient $ \hat{z}_0 $ = 0 lorsque la même proportion des $ \hat{\theta}\!\,^{ *} (b) $ est inférieure et supérieure à $ \hat{\theta} $, y compris en présence d'ex aequo.

L'expression corrigée correspond à la fonction quantile appliquée à la fonction de mi-distribution de la distribution bootstrap (Parzen, 1979),

$$ \tilde{F}(x) = \Pr \left ( X < x \right ) + \tfrac{1}{2} \Pr \left ( X = x \right ) $$

évaluée en $ \hat{\theta} $. Attribuer la moitié de chaque ex aequo à chaque côté est le traitement classique des ex aequo lorsqu'une formule établie pour des variables continues est appliquée à une variable discrète ; c'est le même procédé qui sous-tend la valeur mid-P des tests exacts pour les distributions discrètes (Lancaster, 1961) et l'utilisation des rangs moyens dans les tests de rangs tels que ceux de Wilcoxon et de Mann-Whitney. La correction n'est donc pas propre au bootstrap, et elle laisse la formule de DiCiccio et Efron inchangée chaque fois que la statistique est effectivement continue, puisque le nombre d'ex aequo est alors nul.

Comportement lorsque toutes les réplications sont ex aequo

La correction élimine également une défaillance numérique. Si aucune réplication bootstrap n'est strictement inférieure à $ \hat{\theta} $ alors que certaines lui sont égales, la formule non corrigée évalue $ Φ^{-1}(0) $, qui n'est pas fini. Dans le cas extrême où toutes les réplications sont égales à $ \hat{\theta} $ — ce qui peut se produire avec un petit échantillon contenant de nombreuses valeurs égales — la formule non corrigée échoue complètement, alors que la formule corrigée renvoie $ Φ^{-1}(0{,}5) = 0 $, ce qui est la bonne réponse pour une distribution bootstrap qui n'est pas du tout décalée.

Portée de la correction

L'argument présenté ci-dessus relève de la cohérence interne : dans les situations où la valeur correcte de $ \hat{z}_0 $ peut être établie par simple examen, la formule corrigée la renvoie, contrairement à la formule non corrigée. Il ne s'agit pas d'un résultat de couverture. La précision au second ordre de l'intervalle BC_a est établie pour des statistiques régulières, et cette garantie n'est disponible pour les statistiques à valeurs discrètes avec aucune des deux versions de la formule. La correction élimine une erreur systématique et orientée dans l'estimation de $ \hat{z}_0 $ ; elle ne rétablit pas les propriétés asymptotiques de l'intervalle dans le cas discret.

Une limitation apparentée concerne la constante d'accélération $ \hat{a} $, estimée à partir des valeurs jackknife. Le jackknife est lui-même peu fiable pour les statistiques qui ne réagissent pas de manière régulière au retrait d'une seule observation — la même catégorie de statistiques que celle dans laquelle apparaissent les ex aequo. La correction de $ \hat{z}_0 $ ne concerne donc que l'une des deux constantes intervenant dans les bornes BC_a ; pour les statistiques nettement non régulières, l'estimation de $ \hat{a} $ reste l'étape la plus fragile.

Références

DiCiccio TJ, Efron B (1996) Bootstrap Confidence Intervals. Statistical Science 11:189-228.
Efron B, Tibshirani RJ (1994) An introduction to the bootstrap. Chapman & Hall/CRC: Boca Raton; p 186.
Lancaster HO (1961) Significance tests in discrete distributions. Journal of the American Statistical Association 56:223-234.
Parzen E (1979) Nonparametric statistical data modeling. Journal of the American Statistical Association 74:105-121.