Regressão ponderada – exemplo prático
O problema da heterocedasticidade
Na análise de regressão, heterocedasticidade designa uma situação em que a variância da variável dependente (Y) varia entre os níveis dos dados independentes (X). A heterocedasticidade pode complicar a análise, pois a análise de regressão se baseia no pressuposto de variância igual em todos os níveis dos dados independentes.
 |
 |
| Homocedasticidade | Heterocedasticidade |
A regressão ponderada pode ser usada para corrigir a heterocedasticidade. Em um procedimento de regressão ponderada, atribui-se mais peso às observações com menor variância, pois essas observações fornecem informações mais confiáveis sobre a função de regressão do que aquelas com variâncias grandes.
Neter et al. (1996) sugerem o seguinte processo para estimar os coeficientes de regressão na presença de heterocedasticidade:
- Ajustar o modelo de regressão por mínimos quadrados não ponderados e analisar os resíduos.
- Estimar a função de variância ou a função do desvio padrão por regressão dos resíduos ao quadrado ou dos resíduos absolutos sobre o(s) preditor(es) apropriado(s).
- Usar os valores ajustados da função de variância ou do desvio padrão estimada para obter os pesos wi.
- Estimar os coeficientes de regressão usando esses pesos.
Como fazer isso automaticamente
O MedCalc executa essas etapas automaticamente quando você seleciona a variável fictícia "*** AutoWeight 1/SD^2 ***" em “Pesos” nas caixas de diálogo de regressão.
Como executar cada etapa no MedCalc
Se quiser ter mais controle sobre o processo, por exemplo porque precisa modificar uma ou mais etapas, você pode executar cada uma dessas etapas usando a regressão ponderada e outras ferramentas disponíveis no MedCalc.
Esse processo é descrito em detalhes a seguir.
Os dados deste exemplo estão disponíveis na pasta de arquivos de exemplo do MedCalc, arquivo “Weighted regression (Neter).mc1”. Esse arquivo contém dados de idade (Age) e de pressão arterial diastólica (DBP) coletados em 54 indivíduos.
Etapa 1. Ajustar o modelo de regressão por mínimos quadrados não ponderados e analisar os resíduos
Clicamos em Regressão no menu Estatísticas e preenchemos a caixa de diálogo da seguinte forma.
A Variável Y, a variável dependente, é DBP (pressão arterial diastólica), e a Variável X, a variável independente, é Age.
Não selecionamos nenhuma variável em Pesos porque, nesta primeira etapa, realizamos uma regressão comum por mínimos quadrados não ponderados.
Obtemos os seguintes resultados:
Na janela de resultados, clicamos no hiperlink “Salvar resíduos” para salvar os resíduos em uma nova coluna da planilha.
Os resíduos são as diferenças entre os valores observados da variável dependente DBP e os valores calculados com a equação de regressão.
Na caixa de diálogo seguinte, clicamos em OK.
Isso cria uma nova coluna na planilha contendo os resíduos (variável “REGR_Resid1”):
Etapa 2. Estimar a função de variância ou a função do desvio padrão
Nesta etapa, construímos um modelo de regressão do desvio padrão em função de Age. Para isso, fazemos a regressão dos valores absolutos dos resíduos sobre Age, já que os resíduos absolutos são um estimador do desvio padrão de DBP nos diferentes valores de Age.
Clicamos em Regressão no menu Estatísticas e preenchemos a caixa de diálogo da seguinte forma:
Em Variável Y, primeiro selecionamos a nova variável "REGR_Resid1" e, em seguida, editamos a seleção e alteramos a variável para "abs(REGR_Resid1)".
Obtemos os seguintes resultados:
Etapa 3. Usar os valores ajustados da função de variância ou do desvio padrão estimada para obter os pesos
Na última janela de resultados, clicamos no hiperlink “Salvar valores previstos” para salvar os valores previstos em uma nova coluna da planilha.
Na caixa de diálogo seguinte, clicamos em OK.
Isso cria uma nova coluna na planilha contendo os valores previstos (ou estimados) do desvio padrão (variável “REGR_Pred1”):
Etapa 4. Estimar os coeficientes de regressão usando esses pesos
Por fim, podemos construir nosso modelo de regressão ponderada.
Como pesos, usamos o inverso do quadrado dos valores previstos do desvio padrão (a variância é o quadrado do desvio padrão): as observações com desvio padrão grande recebem menos peso do que as observações com desvio padrão menor.
Clicamos em Regressão no menu Estatísticas e preenchemos a caixa de diálogo da seguinte forma.
Em Pesos, primeiro selecionamos a nova variável "REGR_Pred1" e, em seguida, editamos a seleção e alteramos a variável para "1/REGR_Pred1^2" (também poderíamos usar "1/(REGR_Pred1*REGR_Pred1)" ou "1/Power(REGR_Pred1,2)").
Obtemos os seguintes resultados:
A equação final de regressão (ponderada) é
DBP = 55.5658 + 0.5963 Age
que não é muito diferente da equação de regressão original (não ponderada)
DBP = 56.1569 + 0.5800 Age
No entanto, os erros padrão dos coeficientes de regressão são menores, o que resulta em intervalos de confiança mais estreitos.
Literatura
- Neter J, Kutner MH, Nachtsheim CJ, Wasserman W (1996) Applied linear statistical models. 4th ed. Boston: McGraw-Hill.