Regressão logística

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A regressão logística é um método estatístico para analisar um conjunto de dados em que há uma ou mais variáveis independentes que determinam um desfecho. O desfecho é medido com uma variável dicotômica (em que há apenas dois desfechos possíveis).

Na regressão logística, a variável dependente é binária ou dicotômica, ou seja, contém apenas dados codificados como 1 (VERDADEIRO, sucesso, grávida etc.) ou 0 (FALSO, fracasso, não grávida etc.).

O objetivo da regressão logística é encontrar o modelo com o melhor ajuste (mas biologicamente razoável) para descrever a relação entre a característica dicotômica de interesse (variável dependente = variável de resposta ou de desfecho) e um conjunto de variáveis independentes (preditoras ou explicativas). A regressão logística gera os coeficientes (e os respectivos erros padrão e níveis de significância) de uma fórmula para prever uma transformação logit da probabilidade de presença da característica de interesse:

$$ logit(p) = b_0 + b_1 X_1 + b_2 X_2 + b_3 X_3 + … + b_k X_k $$

em que p é a probabilidade de presença da característica de interesse. A transformação logit é definida como o logaritmo das possibilidades (odds):

$$ possibilidades\ = \frac {p}{1-p} = \frac {probabilidade\ de\ \textit{presença}\ da\ \textit{característica}} {probabilidade\ de\ \textit{ausência}\ da\ \textit{característica}} $$

e

$$ logit(p) = \ln \left ( \frac {p} {1-p} \right ) $$

Em vez de escolher os parâmetros que minimizam a soma dos quadrados dos erros (como na regressão comum), a estimação na regressão logística escolhe os parâmetros que maximizam a verossimilhança de observar os valores da amostra.

Como inserir os dados

No exemplo a seguir, há duas variáveis preditoras: AGE e SMOKING. A variável dependente, ou variável de resposta, é OUTCOME. A variável dependente OUTCOME é codificada como 0 (negativo) e 1 (positivo).

Dados

A1

19

	A	B	C	D
	AGE	SMOKING	OUTCOME
1	19	0	0
2	20	0	0
3	21	0	0
4	21	1	0
5	22	0	0
6	22	0	0
7	22	0	0
8	22	0	0
9	23	1	0
10	23	0	0
11	24	1	0

Dados necessários

Variável dependente

A variável cujos valores você deseja prever. A variável dependente deve ser binária ou dicotômica e deve conter apenas dados codificados como 0 ou 1. Se os seus dados estiverem codificados de outra forma, você pode usar a ferramenta Definir estado para recodificá-los.

Variáveis independentes

Selecione as diferentes variáveis que você espera que influenciem a variável dependente.

Filtro

(Opcionalmente) insira um filtro de dados para incluir apenas um subgrupo selecionado de casos na análise.

Opções

• Método: selecione a forma como as variáveis independentes são inseridas no modelo.
  • Inserir: insere todas as variáveis no modelo em uma única etapa, sem verificação
  • Para frente: insere as variáveis significativas sequencialmente
  • Para trás: insere primeiro todas as variáveis no modelo e depois remove sequencialmente as variáveis não significativas
  • Por etapas: insere as variáveis significativas sequencialmente; depois de inserir uma variável no modelo, verifica e possivelmente remove as variáveis que se tornaram não significativas.
• Inserir variável se P<
  Uma variável é inserida no modelo se o seu nível de significância associado for inferior a este valor P.

• Remover variável se P>
  Uma variável é removida do modelo se o seu nível de significância associado for superior a este valor P.

• Valor de corte da tabela de classificação: um valor entre 0 e 1 que é usado como valor de corte para uma tabela de classificação. A tabela de classificação é um método para avaliar o modelo de regressão logística. Nessa tabela, os valores observados do desfecho dependente e os valores previstos (no valor de corte selecionado) são classificados de forma cruzada.
• Categórico: clique neste botão para identificar variáveis categóricas.

Gráfico

A opção para desenhar um gráfico que mostra a curva de regressão logística só está disponível quando há uma única variável independente.

Resultados

Depois de clicar em OK, os resultados são exibidos.

Regressão logística

Y Dependente	OUTCOME

Método	Inserir

Tamanho da amostra	100
Casos positivos a	44 (44.00%)
Casos negativos b	56 (56.00%)

^a OUTCOME = 1
^b OUTCOME = 0

Ajuste geral do modelo

−2 log-verossimilhança do modelo nulo	137.186
−2 log-verossimilhança do modelo completo	118.338
Qui-quadrado	18.848
GL	2
Nível de significância	P = 0.0001
Cox & Snell R2	0.1718
Nagelkerke R2	0.2302

Coeficientes e Erros Padrão

Variável	Coeficiente	Erro Padrão	Wald	P
AGE	0.11231	0.038619	8.4568	0.0036
SMOKING	1.16384	0.45374	6.5792	0.0103
Constante	-4.47775	1.34565	11.0728	0.0009

Razões de possibilidades e intervalos de confiança de 95%

Variável	Razão de possibilidades	IC de 95%
AGE	1.1189	1.0373 a 1.2068
SMOKING	3.2022	1.3159 a 7.7926

Teste de Hosmer & Lemeshow

Qui-quadrado	14.8881
GL	8
Nível de significância	P = 0.0614

Tabela de contingência para o teste de Hosmer & Lemeshow [Mostrar]

Tabela de contingência para o teste de Hosmer & Lemeshow [Ocultar]

Grupo	Y=0		Y=1		Total
	Observado	Esperado	Observado	Esperado
1	10	8.813	0	1.187	10
2	7	9.560	5	2.440	12
3	8	8.510	4	3.490	12
4	9	7.365	3	4.635	12
5	5	5.566	5	4.434	10
6	8	4.625	1	4.375	9
7	2	4.677	8	5.323	10
8	4	3.541	6	6.459	10
9	3	2.597	7	7.403	10
10	0	0.747	5	4.253	5

Tabela de classificação (valor de corte p=0.5)

Grupo real	Grupo previsto		Porcentagem correta
	0	1
Y = 0	44	12	78.57%
Y = 1	18	26	59.09%
Porcentagem de casos corretamente classificados			70.00%

Análise da curva ROC

Área sob a curva ROC (AUC)	0.737
Erro Padrão	0.0498
Intervalo de confiança de 95%	de 0.639 a 0.820

Salvar probabilidades previstas - Salvar resíduos

Tamanho da amostra e casos com desfecho negativo e positivo

Primeiro, o programa apresenta o tamanho da amostra e o número e a proporção de casos com desfecho negativo (Y=0) e positivo (Y=1).

Ajuste geral do modelo

O −2 log-verossimilhança do modelo nulo é dado por −2 * ln(L₀), em que L₀ é a verossimilhança de obter as observações se as variáveis independentes não tivessem efeito sobre o desfecho.

O −2 log-verossimilhança do modelo completo é dado por −2 * ln(L), em que L é a verossimilhança de obter as observações com todas as variáveis independentes incorporadas no modelo.

A diferença entre esses dois valores dá uma estatística qui-quadrado, que é uma medida de quanto as variáveis independentes afetam o desfecho ou a variável dependente.

Se o valor P da estatística de ajuste geral do modelo for inferior ao valor convencional de 0,05, há evidência de que pelo menos uma das variáveis independentes contribui para a previsão do desfecho.

O R² de Cox & Snell e o R² de Nagelkerke são outras medidas de qualidade do ajuste, conhecidas como pseudo R ao quadrado. Observe que o pseudo R ao quadrado de Cox & Snell tem um valor máximo que não é 1. O R² de Nagelkerke ajusta o de Cox & Snell para que o intervalo de valores possíveis se estenda até 1.

Coeficientes de regressão

Os coeficientes de regressão logística são os coeficientes b₀, b₁, b₂, … b_k da equação de regressão:

$$ logit(p) = b_0 + b_1 X_1 + b_2 X_2 + b_3 X_3 + … + b_k X_k $$

Uma variável independente com um coeficiente de regressão que não difere significativamente de 0 (P>0,05) pode ser removida do modelo de regressão (pressione a tecla de função F7 para repetir o procedimento de regressão logística). Se P<0,05, a variável contribui significativamente para a previsão da variável de desfecho.

Os coeficientes de regressão logística mostram a variação (aumento quando b_i>0, diminuição quando b_i<0) do logaritmo das possibilidades previstas de ter a característica de interesse para uma variação de uma unidade nas variáveis independentes.

Quando as variáveis independentes X_a e X_b são variáveis dicotômicas (por exemplo, tabagismo, sexo), a influência dessas variáveis sobre a variável dependente pode ser comparada simplesmente comparando os seus coeficientes de regressão b_a e b_b.

A estatística de Wald é o coeficiente de regressão dividido pelo seu erro padrão, ao quadrado: (b/EP)².

Razões de possibilidades com IC de 95%

Aplicando a exponencial aos dois lados da equação de regressão dada acima, a equação pode ser reescrita como:

$$ possibilidades\ =\ \frac {p}{1-p}\ =\ e^{b_0} \times e^{b_1 X_1} \times e^{b_2 X_2} \times e^{b_3 X_3} \times … \times e^{b_k X_k} $$

Fica claro que, quando uma variável X_i aumenta 1 unidade, com todos os outros fatores inalterados, as possibilidades aumentam por um fator e^b_i.

$$ e^{b_i ( 1 + X_i ) } - e^{b_i X_i} = e ^{ b_i ( 1 + X_i) - b_i X_i} = e^{b_i + b_i X_i - b_i X_i} = e^{b_i} $$

Esse fator e^b_i é a razão de possibilidades (OR) “ajustada” da variável independente X_i e dá a quantidade relativa em que as possibilidades do desfecho aumentam (OR superior a 1) ou diminuem (OR inferior a 1) quando o valor da variável independente aumenta 1 unidade.

Por exemplo, a variável SMOKING é codificada como 0 (= não fuma) e 1 (= fuma), e a razão de possibilidades dessa variável é 2,64. Isso significa que, no modelo, as possibilidades de um desfecho positivo nos casos que fumam são 2,64 vezes maiores do que nos casos que não fumam.

Interpretação da equação de regressão logística ajustada

A equação de regressão logística é:

Assim, para casos com 40 anos de idade que fumam, logit(p) é igual a 2,026. Logit(p) pode ser reconvertido em p com a fórmula a seguir:

$$ p = \frac {1} { 1 + e^{-logit(p)}} $$

Em alternativa, você pode usar a tabela logit ou a calculadora da função ALOGIT. Para logit(p)=2,026, a probabilidade p de ter um desfecho positivo é igual a 0,88.

Teste de Hosmer-Lemeshow

O teste de Hosmer-Lemeshow é um teste estatístico da qualidade do ajuste do modelo de regressão logística. Os dados são divididos em aproximadamente dez grupos, definidos por ordem crescente do risco estimado. É calculado o número observado e esperado de casos em cada grupo, e é calculada uma estatística qui-quadrado da seguinte forma:

$$\chi^2_{HL} = \sum_{g=1}^{G}{\frac {(O_g-E_g)^2} {E_g(1-E_g/n_g) } } $$

em que O_g, E_g e n_g são os eventos observados, os eventos esperados e o número de observações do g^o grupo de decil de risco, e G é o número de grupos. A estatística de teste segue uma distribuição qui-quadrado com G−2 graus de liberdade.

Um valor alto de qui-quadrado (com valor P pequeno, < 0,05) indica um ajuste fraco, e valores pequenos de qui-quadrado (com valor P maior, mais próximo de 1) indicam um bom ajuste do modelo de regressão logística.

A tabela Tabela de contingência para o teste de Hosmer & Lemeshow mostra os detalhes do teste, com o número observado e esperado de casos em cada grupo.

Tabela de classificação

A tabela de classificação é outro método para avaliar a acurácia preditiva do modelo de regressão logística. Nessa tabela, os valores observados do desfecho dependente e os valores previstos (em um valor de corte definido pelo usuário, por exemplo p=0,50) são classificados de forma cruzada. No nosso exemplo, o modelo prevê corretamente 74% dos casos.

Análise de curva ROC

Outro método para avaliar o modelo de regressão logística utiliza a análise de curva ROC. Nessa análise, a capacidade dos valores previstos pelo modelo de discriminar entre casos positivos e negativos é quantificada pela área sob a curva ROC (AUC). A AUC, às vezes chamada de estatística C (ou índice de concordância), é um valor que varia de 0,5 (capacidade de discriminação não melhor do que o acaso) a 1,0 (capacidade de discriminação perfeita).

Para realizar uma análise de curva ROC completa das probabilidades previstas, você pode salvar as probabilidades previstas e depois usar essa nova variável na análise de curva ROC. A variável dependente usada na regressão logística funciona então como variável de classificação na caixa de diálogo da análise de curva ROC.

Escores de propensão

Os escores de propensão são as probabilidades previstas por um modelo de regressão logística. Para salvar os escores de propensão na planilha, clique no link “Salvar probabilidades previstas” na janela de resultados.

Considerações sobre o tamanho da amostra

O cálculo do tamanho da amostra para a regressão logística é um problema complexo, mas, com base no trabalho de Peduzzi et al. (1996), pode-se sugerir a seguinte orientação para o número mínimo de casos a incluir no estudo.

Seja p a menor das proporções de casos negativos ou positivos na população e k o número de covariáveis (o número de variáveis independentes); o número mínimo de casos a incluir é então:

N = 10 k / p

Por exemplo: você tem 3 covariáveis para incluir no modelo, e a proporção de casos positivos na população é 0,20 (20%). O número mínimo de casos necessário é

N = 10 x 3 / 0,20 = 150

Se o número resultante for inferior a 100, você deve aumentá-lo para 100, como sugerido por Long (1997).

Gráfico

O MedCalc pode desenhar a curva de regressão logística quando há uma única variável independente.

Literatura

• Hosmer DW Jr, Lemeshow S, Sturdivant RX (2013) Applied Logistic Regression. Third Edition. New Jersey: John Wiley & Sons.
• Long JS (1997) Regression Models for categorical and limited dependent variables. Thousand Oaks, CA: Sage Publications.
• Pampel FC (2020) Logistic regression: A primer. Quantitative Applications in the Social Sciences, 132. Thousand Oaks, CA: Sage Publications.
• Peduzzi P, Concato J, Kemper E, Holford TR, Feinstein AR (1996) A simulation study of the number of events per variable in logistic regression analysis. Journal of Clinical Epidemiology 49:1373-1379.

Ver também

• Regressão
• Análise de curva ROC
• Regressão probit (análise dose-resposta)
• Regressão não linear

Links externos

• Regressão logística na Wikipédia.
• Hosmer-Lemeshow test na Wikipédia (artigo disponível apenas em inglês).