截尾均值、SE 和置信区间的计算

$k$ 次截尾均值是从样本中删除 $k$ 个最小观测值和 $k$ 个最大观测值后，剩余样本的均值。

如果以百分比 p 指定要截尾的观测值个数，则 p 是样本每一侧要截去的观测值百分比。例如，百分比为 20% 时，MedCalc 在下侧截去 20%，在上侧截去 20%。

设比例 $ \gamma $ 为 $ p/100 $，则要截去的观测值个数 $k$ 为 $$ k = trunc ( n \gamma ) $$

如果 $ n \gamma $ 不是整数，则将其截断为不大于它的最大整数（向下取整）。注意，SPSS、R（以及 Excel）同样向下取整，而 SAS 则向上取整。

$k$ 次截尾均值的计算公式为

$$ \bar{x}_{tk} = \frac{1} {n-2k} \sum_{i=k+1}^{n-k}{x_i} $$

截尾均值的标准误基于 Winsor 化均值和 Winsor 化离差平方和（Tukey & McLaughlin, 1963）。Winsor 化均值的计算公式为

$$ \bar{x}_{wk} = \frac{1}{n} \left( (k+1) x_{k+1} + \sum_{i=k+2}^{n-k-1}{x_i} + (k+1) x_{n-k} \right) $$

Winsor 化离差平方和的计算公式为

$$ s^{2}_{wk} = (k+1) {(x_{k+1} - \bar{x}_{wk})}^2 + \sum_{i=k+2}^{n-k-1}{({x_i}-\bar{x}_{wk})}^2 + (k+1) {(x_{n-k} - \bar{x}_{wk})}^2 $$

于是，截尾均值的标准误可按下式计算：

$$ \text{SE}(\bar{x}_{tk}) = \frac{s_{wk}}{\sqrt{(n-2k)(n-2k-1)} } $$

截尾均值的置信区间定义为

$$ \bar{x}_{tk} \pm t_{(1- \frac{\alpha}{2}, n-2k-1)} \text{SE}(\bar{x}_{tk}) $$

两个独立截尾均值的比较：Yuen–Welch 检验

这些计算基于 Yuen (1974) 给出的方法（参见 Wilcox, 2022）。

Yuen 检验统计量为

$$ T = \frac{ \bar{x}_{wk1} - \bar{x}_{wk2} } { \sqrt {d_1 + d_2 } } $$

其中 $d_1$ 和 $d_2$ 分别是两个样本均值标准误的平方。

估计的自由度为：

$$ df = \frac {(d_1+d_2)^2} { \frac{d_1^2}{h_1-1}+\frac{d_2^2}{h_2-1} } $$

其中 $ h_j = n_j-2k_j$ 是截尾后剩余的观测值个数。

P值取自自由度为 $df$ 的 t 分布。

差值的 95% 置信区间为

$$ (\bar{x}_{wk1} - \bar{x}_{wk2}) \pm t \sqrt {d_1 + d_2 } $$

其中 $t$ 是自由度为 $df$ 的 t 分布的 $ 1- \alpha / 2 $ 分位数。

配对样本截尾均值的比较

这些计算基于 Wilcox (2022) 给出的方法。

均值之差 $ \bar{x}_{wk1} - \bar{x}_{wk2} $ 的标准误平方估计为： $$ \frac {1}{h(h-1)} \left\{ \sum { (x_{1i}-\bar{x}_{wk1})^2 } + \sum { (x_{2i}-\bar{x}_{wk2})^2 } - 2 \sum { (x_{1i}-\bar{x}_{wk1})({x_{2i}-\bar{x}_{wk2}) } } \right\} $$

其中 $ h = n-2k$ 是截尾后剩余的观测值个数。

令

$$ d_j = \frac {1}{h(h-1)} \sum { (x_{ji}-\bar{x}_{wkj})^2 } $$

以及

$$ d_{12} = \frac {1}{h(h-1)} \sum { (x_{1i}-\bar{x}_{wk1})({x_{2i}-\bar{x}_{wk2}) } } $$

检验统计量 $T$ 为 $$ T = \frac{ \bar{x}_{wk1} - \bar{x}_{wk2} } { \sqrt {d_1 + d_2 - 2d_{12}} } $$

P值取自自由度为 $h−1$ 的 t 分布。

差值的 95% 置信区间为

$$ (\bar{x}_{wk1} - \bar{x}_{wk2}) \pm t \sqrt {d_1 + d_2 - 2d_{12}} $$

其中 $t$ 是自由度为 $h−1$ 的 t 分布的 $ 1- \alpha / 2 $ 分位数。

参考文献

Tukey JW, McLaughlin DH (1963) Less Vulnerable Confidence and Significance Procedures for Location Based on a Single Sample: Trimming/Winsorization 1. Sankhya A, 25:331–352.
Wilcox RR (2022) Introduction to robust estimation and hypothesis testing. 5^th ed. Elsevier Academic Press.
Yuen KK (1974) The two-sample trimmed t for unequal population variances. Biometrika 61:165–170.