Budanmış ortalamanın, SH'sinin ve güven aralığının hesaplanması

$k$ kez budanmış ortalama, örneklemden en küçük $k$ ve en büyük $k$ gözlem çıkarıldıktan sonra örneklemin ortalaması olarak hesaplanır.

Budanacak gözlem sayısı p yüzdesi olarak belirtilirse p, örneklemin her bir ucunda budanacak gözlemlerin yüzdesidir. Örneğin yüzde %20 ise MedCalc alt uçtan %20 ve üst uçtan %20 budar.

$ \gamma $ oranı $ p/100 $ olmak üzere, budanacak gözlem sayısı $k$ şöyle verilir: $$ k = trunc ( n \gamma ) $$

$ n \gamma $ bir tam sayı değilse kendisinden küçük en büyük tam sayıya kesilir (aşağı yuvarlanır). SPSS, R (ve Excel) de aşağı yuvarlar, ancak SAS yukarı yuvarlar.

$k$ kez budanmış ortalama şöyle hesaplanır:

$$ \bar{x}_{tk} = \frac{1} {n-2k} \sum_{i=k+1}^{n-k}{x_i} $$

Budanmış ortalamanın standart hatası, winsorize edilmiş ortalamaya ve winsorize edilmiş kareli sapmalar toplamına dayanır (Tukey & McLaughlin, 1963). Winsorize edilmiş ortalama şöyle hesaplanır:

$$ \bar{x}_{wk} = \frac{1}{n} \left( (k+1) x_{k+1} + \sum_{i=k+2}^{n-k-1}{x_i} + (k+1) x_{n-k} \right) $$

winsorize edilmiş kareli sapmalar toplamı ise şöyle hesaplanır:

$$ s^{2}_{wk} = (k+1) {(x_{k+1} - \bar{x}_{wk})}^2 + \sum_{i=k+2}^{n-k-1}{({x_i}-\bar{x}_{wk})}^2 + (k+1) {(x_{n-k} - \bar{x}_{wk})}^2 $$

Budanmış ortalamanın standart hatası bu durumda şöyle hesaplanabilir:

$$ \text{SE}(\bar{x}_{tk}) = \frac{s_{wk}}{\sqrt{(n-2k)(n-2k-1)} } $$

Budanmış ortalama için güven aralığı şöyle tanımlanır:

$$ \bar{x}_{tk} \pm t_{(1- \frac{\alpha}{2}, n-2k-1)} \text{SE}(\bar{x}_{tk}) $$

İki bağımsız budanmış ortalamanın karşılaştırması: Yuen-Welch testi

Bu hesaplamalar Yuen, 1974 tarafından verilen yönteme dayanır (bkz. Wilcox, 2022).

Yuen'in test istatistiği şöyledir:

$$ T = \frac{ \bar{x}_{wk1} - \bar{x}_{wk2} } { \sqrt {d_1 + d_2 } } $$

Burada $d_1$ ve $d_2$, iki örneklem ortalamasının standart hatalarının kareleridir.

Tahmini serbestlik derecesi şöyledir:

$$ df = \frac {(d_1+d_2)^2} { \frac{d_1^2}{h_1-1}+\frac{d_2^2}{h_2-1} } $$

Burada $ h_j = n_j-2k_j$, budama sonrasında kalan gözlem sayısıdır.

P değeri, $df$ serbestlik dereceli t dağılımından alınır.

Fark için %95 güven aralığı şöyledir:

$$ (\bar{x}_{wk1} - \bar{x}_{wk2}) \pm t \sqrt {d_1 + d_2 } $$

Burada $t$ , $df$ serbestlik dereceli t dağılımının $ 1- \alpha / 2 $ kuantilidir.

Eşleştirilmiş örneklemlerin budanmış ortalamalarının karşılaştırması

Bu hesaplamalar Wilcox, 2022 tarafından verilen yönteme dayanır.

$ \bar{x}_{wk1} - \bar{x}_{wk2} $ ortalamaları arasındaki farkın standart hatasının karesi şöyle tahmin edilir: $$ \frac {1}{h(h-1)} \left\{ \sum { (x_{1i}-\bar{x}_{wk1})^2 } + \sum { (x_{2i}-\bar{x}_{wk2})^2 } - 2 \sum { (x_{1i}-\bar{x}_{wk1})({x_{2i}-\bar{x}_{wk2}) } } \right\} $$

Burada $ h = n-2k$, budama sonrasında kalan gözlem sayısıdır.

Şu tanımlar yapılırsa:

$$ d_j = \frac {1}{h(h-1)} \sum { (x_{ji}-\bar{x}_{wkj})^2 } $$

$$ d_{12} = \frac {1}{h(h-1)} \sum { (x_{1i}-\bar{x}_{wk1})({x_{2i}-\bar{x}_{wk2}) } } $$

$T$ test istatistiği şöyle verilir: $$ T = \frac{ \bar{x}_{wk1} - \bar{x}_{wk2} } { \sqrt {d_1 + d_2 - 2d_{12}} } $$

P değeri, $h−1$ serbestlik dereceli t dağılımından alınır.

Fark için %95 güven aralığı şöyledir:

$$ (\bar{x}_{wk1} - \bar{x}_{wk2}) \pm t \sqrt {d_1 + d_2 - 2d_{12}} $$

Burada $t$ , $h−1$ serbestlik dereceli t dağılımının $ 1- \alpha / 2 $ kuantilidir.

Kaynakça

Tukey JW, McLaughlin DH (1963) Less Vulnerable Confidence and Significance Procedures for Location Based on a Single Sample: Trimming/Winsorization 1. Sankhya A, 25:331–352.
Wilcox RR (2022) Introduction to robust estimation and hypothesis testing. 5^th ed. Elsevier Academic Press.
Yuen KK (1974) The two-sample trimmed t for unequal population variances. Biometrika 61:165–170.