Regressione

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L'analisi di regressione è un metodo statistico usato per descrivere la relazione tra due variabili e per prevedere una variabile a partire dall'altra (se conosci una variabile, quanto bene puoi prevedere una seconda variabile?).

Mentre per la correlazione le due variabili devono avere una distribuzione normale, questo non è un requisito dell'analisi di regressione. La variabile X non deve essere un campione casuale con distribuzione normale (i valori di X possono essere scelti dallo sperimentatore). Tuttavia, la variabilità di Y dovrebbe essere la stessa a ogni livello di X.

Input richiesto

Variabili

• Variabile Y e Variabile X: seleziona le variabili dipendente e indipendente Y e X.
• Pesi: facoltativamente, seleziona una variabile che contiene i pesi relativi da attribuire a ciascuna osservazione (per la regressione dei minimi quadrati ponderati). Seleziona la variabile fittizia "*** AutoWeight 1/SD^2 ***" per una procedura di regressione ponderata automatica che corregge l'eteroschedasticità (Neter et al., 1996). Questa variabile fittizia compare come prima voce nell'elenco a discesa dei pesi.
• Filtro: puoi anche inserire un filtro dei dati per includere nell'analisi statistica solo un sottogruppo selezionato di casi.

Equazione di regressione

Per impostazione predefinita è selezionata l'opzione Includi costante in equazione. È l'opzione raccomandata, che produce una regressione dei minimi quadrati ordinari. Se ti serve una regressione passante per l'origine (senza costante a nell'equazione), puoi deselezionare questa opzione (un esempio di quando è appropriato è riportato in Eisenhauer, 2003).

MedCalc offre la scelta tra 5 diverse equazioni di regressione:

dove x rappresenta la variabile indipendente e y la variabile dipendente. I coefficienti a, b e c sono calcolati dal programma con il metodo dei minimi quadrati.

Opzioni

• Sottogruppi: permette di selezionare una variabile categorica che contiene codici per identificare sottogruppi distinti. L'analisi di regressione viene eseguita per tutti i casi e per ciascun sottogruppo.
• Residui: puoi selezionare un test di distribuzione normale dei residui.

Risultati

Nella finestra dei risultati vengono visualizzate le seguenti statistiche.

Regressione

Dipendente Y	WEIGHT
Indipendente X	LENGTH

Regressione dei minimi quadrati

Dimensione campione	100
Coefficiente di determinazione R2	0.1988
Deviazione standard residua	8.6253

Equazione di regressione

y = -54.5957 + 0.7476 x
Parametro	Coefficiente	Errore Std.	IC al 95%	t	P
Intercetta	-54.5957	26.7084	-107.5975 a -1.5938	-2.0441	0.0436
Pendenza	0.7476	0.1516	0.4468 a 1.0485	4.9312	<0.0001

Analisi della varianza

Origine	DF	Somma dei quadrati	Media quadratica
Regressione	1	1809.0613	1809.0613
Residuo	98	7290.7787	74.3957

Rapporto F	24.3167
Livello di significatività	P<0.0001

Residui

Test di Shapiro-Wilk per la distribuzione normale	W=0.9844 accetta normalità (P=0.2886)

Salva valori previsti - Salva residui Diagramma a dispersione con linea di regressione

Dimensione del campione: il numero di coppie di dati n

Coefficiente di determinazione R²: è la proporzione della variazione della variabile dipendente spiegata dal modello di regressione ed è una misura della bontà di adattamento del modello. Può variare da 0 a 1 e si calcola come segue:

$$ R^2 = \frac {variazione\ spiegata} {variazione\ totale} = \frac {\sum_{}^{}{(y_{est}-\bar{y})^2}} {\sum_{}^{}{(y-\bar{y})^2}} $$

dove y sono i valori osservati della variabile dipendente, $\bar{y}$ è la media dei valori osservati e y_est sono i valori previsti della variabile dipendente (i valori previsti sono calcolati con l'equazione di regressione).

Nota: MedCalc non riporta il coefficiente di determinazione nel caso di regressione passante per l'origine, perché non fornisce una buona interpretazione del modello di regressione passante per l'origine (vedi Eisenhauer, 2003).

Deviazione standard residua: la deviazione standard dei residui (residui = differenze tra valori osservati e valori previsti). Si calcola come segue:

$$s_{res} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(y-y_{est})^2}}{n-2}} $$

La deviazione standard residua è talvolta chiamata errore standard della stima (Spiegel, 1961).

L'equazione della curva di regressione: l'equazione selezionata con i valori calcolati di a e b (e, per una parabola, di un terzo coefficiente c). Ad es. Y = a + b X

Poi sono riportati gli errori standard dell'intercetta (a) e della pendenza (b), seguiti dal valore t e dal valore P per l'ipotesi che questi coefficienti siano uguali a 0. Se i valori P sono bassi (ad es. inferiori a 0,05), puoi concludere che i coefficienti sono diversi da 0.

Nota che, quando usi l'equazione di regressione per fare previsioni, puoi applicarla solo a valori compresi nell'intervallo delle osservazioni effettive. Ad es., se hai calcolato l'equazione di regressione tra altezza e peso per gli scolari, questa equazione non può essere applicata agli adulti.

Analisi della varianza: la tabella dell'analisi della varianza divide la variazione totale della variabile dipendente in due componenti, una attribuibile al modello di regressione (etichettata Regressione) e una non attribuibile (etichettata Residuo). Se il livello di significatività del test F è piccolo (inferiore a 0,05), l'ipotesi che non esista una relazione (lineare) può essere rifiutata.

Confronto delle linee di regressione

Quando nella finestra di dialogo della regressione hai selezionato un sottogruppo, MedCalc confronta automaticamente le pendenze e le intercette delle equazioni di regressione ottenute nei diversi sottogruppi.

Questo confronto viene eseguito quando

• ci sono 2 sottogruppi
• non c'è una variabile dei pesi
• la costante è inclusa nell'equazione

La finestra dei risultati include allora una tabella che confronta le pendenze e le intercette delle due linee di regressione.

I calcoli vengono eseguiti secondo Armitage et al., 2002.

Per prima cosa viene riportata la differenza tra le pendenze con il suo errore standard, la statistica t, i gradi di libertà e il valore P associato. Se P non è inferiore a 0,05, le pendenze non differiscono significativamente e le linee di regressione sono parallele. Se P è inferiore a 0,05, le linee di regressione non sono parallele e il confronto delle intercette riportato più sotto non è valido.

Poi viene calcolata una pendenza comune, che viene usata per calcolare la differenza corretta tra le intercette.

Questa differenza corretta tra le intercette è riportata con il suo errore standard, la statistica t, i gradi di libertà e il valore P associato. Se P è inferiore a 0,05, c'è una differenza significativa tra le 2 intercette. Se P non è inferiore a 0,05, le due linee di regressione sono indistinguibili.

Confronto delle linee di regressione con l'ANCOVA

Quando i sottogruppi sono più di 2, per confrontare pendenze e intercette si può usare l'ANCOVA.

Nel modello ANCOVA si seleziona prima la variabile dipendente e poi si seleziona la variabile indipendente come covariata. Per i fattori si seleziona la variabile di raggruppamento.

Nei risultati dell'ANCOVA, sotto "Omogeneità delle pendenze di regressione", trovi un valore P che è il livello di significatività del confronto delle pendenze di regressione. Se questo valore P non è inferiore a 0,05, le linee di regressione sono parallele.

Poi, sotto "Confronti a coppie", trovi i valori P delle differenze tra le intercette.

Analisi dei residui

L'analisi di regressione lineare assume che i residui (le differenze tra le osservazioni e i valori stimati) seguano una distribuzione normale. Questa assunzione può essere valutata con un test formale o con metodi grafici.

I diversi test di distribuzione normale formali possono non avere una potenza sufficiente per rilevare scostamenti dalla distribuzione normale quando la dimensione del campione è piccola. D'altra parte, quando la dimensione del campione è grande, il requisito della distribuzione normale è meno stringente grazie al teorema del limite centrale.

Per questo motivo si preferisce spesso valutare visivamente la simmetria e la curtosi della distribuzione dei residui con l'istogramma, il box plot o il diagramma normale.

Per farlo, fai clic sul collegamento ipertestuale "Salva residui" nella finestra dei risultati. I valori dei residui vengono salvati come nuova variabile nel foglio di lavoro. Puoi quindi usare questa nuova variabile nei diversi grafici di distribuzione.

Presentazione dei risultati

Se l'analisi mostra che la relazione tra le due variabili è troppo debole per essere di aiuto pratico, non ha molto senso riportare l'equazione della retta o della curva adattata. Se riporti l'equazione, riporta anche l'errore standard della pendenza, insieme al valore P corrispondente. Va riportata anche la deviazione standard residua (Altman, 1980). Il numero di decimali dei coefficienti di regressione dovrebbe corrispondere alla precisione dei dati grezzi.

Il diagramma a dispersione che accompagna i risultati dovrebbe includere la linea di regressione adattata, quando è appropriato. Questa figura può includere anche l'intervallo di confidenza al 95%, oppure l'intervallo di previsione al 95%, che può essere più informativo, o entrambi. La legenda della figura deve identificare chiaramente l'intervallo rappresentato.

Letteratura

• Altman DG (1980) Statistics and ethics in medical research. VI - Presentation of results. British Medical Journal 281:1542-1544.
• Armitage P, Berry G, Matthews JNS (2002) Statistical methods in medical research. 4^th ed. Blackwell Science.
• Bland M (2000) An introduction to medical statistics, 3^rd ed. Oxford: Oxford University Press.
• Eisenhauer JG (2003) Regression through the origin. Teaching Statistics 25:76-80.
• Neter J, Kutner MH, Nachtsheim CJ, Wasserman W (1996) Applied linear statistical models. 4^th ed. Boston: McGraw-Hill.

Vedi anche

• Regressione ponderata
• Diagramma a dispersione e linea di regressione
• Regressione multipla
• Regressione logistica
• Regressione probit (analisi dose-risposta)
• Regressione non lineare

Link esterni

• Regressione lineare e Analisi della regressione su Wikipedia.